 |
Атом водорода в квантовой механике
|
|
|
|
Решение задачи об энергетических уравнениях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не +, двукратно ионизированного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),
где r - расстояние между электроном и ядром. Графически функция U (r) изображена жирной кривой на рис. 38, неограниченно убывающей (возрастающей) по модулю при уменьшении r, т.е. при приближении электрона к ядру.
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией 
, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера
(9.1)
где m - масса электрона, Е - полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным; то для решения уравнения (9.1) обычно используют сферическую систему координат: 
. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи; ограничимся рассмотрением важнейших результатов; которые из него следуют; пояснив их физический смысл.
1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (9.1) имеют решения; удовлетворяющие требованиям однозначности; конечности и непрерывности волновой функции только при собственных значениях энергии
(n=1,2,3,…) (9.2)
т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.
Таким образом; решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1,Е2,Е3 показаны на рис. 38 в виде горизонтальных прямых.
| Самый нижний уровень E1, отвечающий минимально возможной энергии, - основной. Все остальные  -возбужденные. При Е<0движение электрона является связанным - он находится внутри гиперболической "потенциальной ямы". По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при  .
|
Рис. 38
|
|
|
При Е>О движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>О (на рис. 37 заштрихована) соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода равна
(9.3)
Выражение (9.3) совпадает с формулой (7.7), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы, то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.
2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (9.1) удовлетворяют собственные функции, 
, определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным 
и магнитным 
.
Главное квантовое число n, согласно (9.2), определяет энерге-тические уровни электрона в атоме и может принимать любые цело-численные значения начиная с единицы: n=1, 2, 3,
Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, опреде-ляемые формулой
, (9.4)
где – орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения
(9.5)
т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.
Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор 
момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция 
на направление z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения кратные 
(9.6)
где 
- магнитное квантовое число, которое может принимать значения =0,±1,±2,…,± , - определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 + ориентаций. Наличие квантового числа должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2 + 1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка.
|
|
|
Хотя энергия электрона (9.2) и зависит только от главного квантового числа n, но каждому собственному значению En (кроме Е1) соответствует несколько собственных функций 
, отличающихся значениями . Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном n орбитальное квантовое число может изменяться от 0 до n- 1, а каждому значению соответствует 2 + различных значений, то число различных состояний, соответствующих данному n, равно
. (9.7)
Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию . Кроме того, поскольку при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, квантовая механика вообще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно учению, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема, различную в разных частях атома. Электрон при своем движении как бы "размазан" по всему объему и образует электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа n и 
характеризуют размер и форму электронного облака, квантовое число - ориентацию электронного облака в пространстве.
В атомной физике по аналогии со спектроскопией состояние электрона, характеризующееся квантовым числом 
, называют s - состоянием (электрон в этом состоянии называют s - электроном), 
=1 - р – состоянием, =2 - d - состоянием, = 3 - f - состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях с n = 2 и = 0 и обозначаются соответственно символами 2s и 2р.
|
|
|
Рис. 39
На рис. 39 для примера приведено распределение электрон-ной плотности (в форме электронного облака) для состояний атома во-дорода при n = 1 и n = 2, определяемое 
как видно из рисунка, оно зависит от n, и . Так при = 0 электронная плотность в центре отлична от нуля и не зависит от направления (сферически симметрична), а для остальных состояний в центре она равна нулю зависит от направления.
3. Спектр. Квантовые числа n, и позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора. В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающее число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света.
Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально - симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для ко-
торых: 1) изменение орбитального квантового числа 
удовлетворяет условию
; (9.7) 2) изменение магнитного квантового числа 
удовлетворяет условию
.
В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые, "запрещенные" линии, например возникающие при переходах с 
. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению более сложных систем зарядов. Например, квадруполей. Вероятность же квадрупольных переходов (переходы с 
) во много раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому "запрещенные" линии и являются слабыми. Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора (9.8), рассмотрим спектральные линии атома водорода: серии Лаймана соответствуют переходы
|
|
|
серии Бальмера -
.
Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне. Например, на счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 
(n=2,3,...), что находится в полном согласии с опытом.
|
|
|
