 |
Пункт 8. Вычисление подходящих дробей.
|
|
|
|
В этом пункте мы будем внимательно наблюдать за поведением подходящих дробей
| d 1 = q 1 , d 2 , = q 1 + | q 2 | , d 3 = q 1 + |
| ,... |
цепной дроби
с целью научиться быстро их вычислять не связываясь с преобразованием многоэтажных выражений.
Мишке косолапому понятно, что подходящая дробь d s , s > 1, получается из дроби d s -1 заменой в записи выражения d s -1 буквы q s -1 выражением q s -1 + 1/ q s . (Признаюсь честно, что это я погорячился, написав "мишке косолапому понятно". Лично мне, в свое время, для понимания этого потребовалось сделать над собой изрядное усилие. Ну, да я и не мишка косолапый.) Мы уже знаем из пункта 7, что если "многоэтажную" подходящую дробь упростить (посчитать), то получится некоторое рациональное число P / Q - "одноэтажная" дробь. Договоримся всегда буквой P s обозначать числитель подходящей дроби d s (числитель именно ее рационального значения, т.е. "одноэтажной" дроби), а буквой Q s - знаменатель. Давайте научимся быстро считать эти числители и знаменатели.
Положим для удобства P 0 = 1, Q 0 = 0. (Это просто соглашение, не пугайтесь, на ноль делить никто не заставляет.) Имеем:
| d 0 = | P 0 Q 0 | = ¥ |
| d 1 = | q 1 | = | P 1 Q 1 | , т.е. P 1 = q 1 , Q 1 = 1, |
| d 2 = | q 1 +1/ q 2 | = | q 1 q 2 +1 1· q 2 + 0 | = | q 2 P 1 + P 0 q 2 Q 1 + Q 0 | = | P 2 Q 2 | , |
| d 3 = | (q 2 + 1/ q 3 ) P 1 + P 0 (q 2 + 1/ q 3 ) Q 1 + Q 0 | = | q 3 P 2 + P 1 q 3 Q 2 + Q 1 | = | P 3 Q 3 | и т.д. |
Видно, что получаются рекуррентные соотношения:
| P s = q s P s -1 + P s -2 - числители Q s = q s Q s -1 + Q s -2 - знаменатели |
Просьба хорошенько запомнить эти соотношения вместе с начальными условиями P 0 = 1, Q 0 = 0, P 1 = q 1 , Q 1 = 1, ибо их использование значительно ускоряет процесс вычисления подходящих дробей и доставляет много других радостей. Сами соотношения очень легко доказать, если воспользоваться принципом математической индукции и головным мозгом. Проделайте это, пожалуйста, самостоятельно.
|
|
|
Пример. Вспомним разложение в цепную дробь числа 105/38 из предыдущего пункта и вычислим подходящие дроби. Имеем:
Вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей организуем в таблицу:
| s | ||||||
| Q s | Это пустая клетка, зачем вы в нее смотрите? (1) | |||||
| P s | ||||||
| Q s |
(1) Более того, вы зачем-то начали читать сноску к пустой клетке.
Посмотрите внимательно. Вторая строчка этой таблицы - неполные частные - заполняется сразу после работы алгоритма Евклида, числа P 0 = 1, Q 0 = 0, P 1 = q 1 , Q 1 = 1 проставляются в таблицу автоматически. Две последние строки заполняются слева направо с использованием рекуррентных соотношений. Например, число 11 = P 3 в третьей строке возникло так: тройка, стоящая над ним, умножилась на тройку, стоящую перед ним, и к результату прибавилась стоящая впереди двойка, ибо P 3 = q 3 P 2 + P 1 = 3 · 3 + 2. После того, как в таблице уже стоит число 11, следующая клетка в этой строке заполняется числом 4 · 11 + 3 = 47, и т.д. Согласитесь, этот процесс гораздо быстрее и приятнее раскручивания многоэтажных дробей. Ответ:
| d 0 = ¥; d 1 = 2; d 2 = 3; d 3 = | = 2,75; |
| d 4 = | » 2,764...; d 5 = | » 2,76315... |
- на пятом шаге (считая с нуля) подходящие дроби подошли к самому числу, прыгая вокруг него. Я имею ввиду то, что дроби с четными номерами больше исходного числа, а дроби с нечетными номерами - меньше, и последовательность подходящих дробей очень быстро сходится к самому числу. Это, конечно, не случайно, но об этих свойствах как раз чуть ниже и в следующем пункте.
Я хотел было закончить здесь пункт 8, но человек - существо ужасно любопытное. Если он идет мимо забора за которым что-то попискивает, то он обязательно заглянет в щелочку, чтобы узнать, что это там пищит. Вот и сейчас любопытство взяло верх, и мне страшно хочется посчитать подходящие дроби разложения Ö 2 в цепную дробь из примера 1 предыдущего пункта. Не буду себя сдерживать и составлю таблицу:
|
|
|
| s | ||||||||
| Q s | ||||||||
| P s | ||||||||
| Q s |
Уже на шестом шаге я получил дробь 99/70 = 1,41428..., т.е. достиг точности, которую помнят только влюбленные в математику человеки - Ö 2» 1,4142; понадобилось же мне для этого две минуты и шесть секунд устных вычислений. Вот какой мощный аппарат - цепные дроби!
Задачки 
| 1. Составляя таблицу, вычислите десяток подходящих дробей следующих цепных дробей и запишите их значения в виде десятичной дроби:
а)
(все неполные частные равны единице);
б)
(последовательность неполных частных такова: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1,...); (1)
в)
(последовательность неполных частных такова: 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13,...); (2)
2. Решите уравнение:
 ,
где справа в цепной дроби стоит n дробных черточек.
|
(1) Разложение в цепную дробь основания натуральных логарифмов впервые получил Эйлер, подметивший и доказавший закономерность в последовательности неполных частных.
(2) Для последовательности неполных частных разложения в цепную дробь числа p в настоящее время неизвестно никакой закономерности и никаких ее свойств, кроме того, что эта последовательность заве-домо не периодическая (см. пункт 11).
|
|
|
