 |
Отступление про Фибоначчи.
|
|
|
|
Фибоначчи - "Сын Боначчо" или Леонардо Пизанский (1180 - 1240), - известный средневековый математик-кроликовод, философ, купец и т.д. Путешествовал и торговал в странах востока, но, в отличие от тупых современных челноков, озабоченных только марксовской разностью Д ¢ - Д, где Д - деньги, Д ¢ - деньги штрих, изучал науку востока. По возвращению в Европу он записал собранные сведения, добавил много собственных исследований и издал книги "Практика геометрии" и "Книга абака". Последовательность Фибоначчи возникает у самого Леонардо при решении следующей задачи: Сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течении года, если а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) кролики не дохнут. Поразительным образом, демонстрируя единство мироздания, последовательность Фибоначчи появляется не только при изучении цепных дробей, но и во многих других разделах математики, физики, биологии, искусствоведения. Кроме порождения на свет этой замечательной последовательности и другого прочего, "Книга абака" была одним из решающих источников проникновения в Западную Европу десятичной системы счисления и арабской записи цифр. Честь и хвала безумцам, которые, порой в ущерб своему благосостоянию, сохраняют и развивают культуру целых поколений, безумцам, чья система ценностей не замкнута на шмотках, деньгах и развлечениях!
Свойство 5. Для любой бесконечной цепной дроби, последовательность d 1 , d 2 , d 3 ,... сходится.
Доказательство. Рассмотрим подпоследовательности:
| P 0 Q 0 | , | P 2 Q 2 | ,..., | P 2 n Q 2 n | ,... - дроби с четными номерами и |
| P 1 Q 1 | , | P 3 Q 3 | ,..., | P 2 n +1 Q 2 n +1 | ,... - дроби с нечетными номерами. |
Имеем:
|
|
|
| P 2 n +2 Q 2 n +2 | - | P 2 n Q 2 n | = d 2 n +2 - d 2 n +1 + d 2 n +1 - d 2 n = |
| = | Q 2 n +2 Q 2 n +1 | + | -1 Q 2 n +1 Q 2 n | < 0, |
т.к. Q 2 n +2 Q 2 n +1 > Q 2 n +1 Q 2 n . Значит, подпоследовательность дробей с четными номерами монотонно убывает. Аналогично, вторая подпоследовательность монотонно возрастает. Всякий член "четной" последовательности больше всякого члена "нечетной". Действительно, рассмотрим d 2 n и d 2 m +1 . Возьмем четное k такое, что k +1 > 2 n и k +1 > 2 m + 1. Тогда
| d k - d k -1 = + | Q k Q k -1 | > 0, т.е. d k > d k -1 . |
Но ведь d k < d 2 n , в силу убывания последовательности "четных", а d k -1 > d 2 m +1 , в силу возрастания последовательности "нечетных". Значит, d 2 n > d k > d k -1 > d 2 m +1 , что и нужно. Получается, что обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, имеют пределы. Кроме того,
| | d s - d s -1 | = | Q s Q s -1 | < | F s F s -1 | —— ® s ®¥ | 0, |
где F s - s -ый член последовательности Фибоначчи, следовательно пределы обеих подпоследовательностей совпадают.
Итак, всякая бесконечная цепная дробь имеет некоторое значение.
¨
Свойство 6. Пусть a Î R раскладывается в цепную дробь, например, с помощью процесса взятия целых частей и "переворачивания" дробных (этот процесс предложен в пункте 7 после формулировки основной теоремы о цепных дробях), т.е.
- результат очередного этапа процесса разложения. Тогда a лежит между d s -1 и d s , причем ближе к d s , чем к d s -1 .
Доказательство. На (s +1)-ом шаге разложения мы заменяем q s на q s + 1/ a s +1 , поэтому имеем точное равенство:
| a = | a s +1 P s + P s -1 a s +1 Q s + Q s -1 | , значит |
a a s +1 Q s + a Q s -1 - a s +1 P s - P s -1 = 0.
Преобразуем:
| a s +1 Q s | æ ç è | a - | P s Q s | ö ÷ ø | + Q s -1 | æ ç è | a - | P s -1 Q s -1 | ö ÷ ø | = 0. |
Это равенство означает, что разности в скобках разных знаков. Кроме того, Q s > Q s -1 , a s +1 > 1, значит
| ç ç ç | a - | P s Q s | ç ç ç | < | ç ç ç | a - | P s -1 Q s -1 | ç ç ç | . ¨ |
Свойство 7. Для любого a Î R, разложение в цепную дробь единственно.
|
|
|
Доказательство. Пусть есть два разложения одного и того же числа:
Если два числа совпадают, то у них совпадают целые части, т.е. р 1 = q 1 , и совпадают обратные величины к дробным частям:
Далее точно так же, по индукции.
¨
Наблюдательный читатель уже наверняка заметил, что основная теорема о цепных дробях (сформулированная в пункте 7), о необходимости доказательства которой так долго говорили большевики, к этому моменту оказалась доказанной. Более того, из вышеизложенного следует, что всякая цепная дробь (конечная или бесконечная) сходится именно к тому числу, которое было в нее разложено. И слава Богу! Аллилуйя!
Задачки 
| 1. Найдите формулу n -ого члена последовательности, задаваемой рекуррентно: a n = a n -1 + 2 a n -2 ; a 1 = 0, a 2 = 6.
2. Продвинутый десятиклассник Петя решает на школьной олимпиаде такую задачу:
Доказать, что при любом n = 0, 1, 2,..., число
является целым. Поскольку Петя знает только бином Ньютона, у него получаются очень громоздкие вычисления, в которых он тонет. Помогите Пете, не используя бином Ньютона.
3. Вычислите a с точностью до десятого знака после запятой, если:
а) a = Ö 2;
б) a = Ö 5.
Разрешается использовать только ваше умение оценивать разность между соседними подходящими дробями и калькулятор, умеющий выполнять сложение, умножение, вычитание и деление.
4. Вычислив последнюю и предпоследнюю подходящие дроби числа 215/157, решите диофантовы уравнения:
а) 215 x - 157 y = 1;
б) 215 x - 157 y = 4.
|
|
|
|
