Тема 8. Статистические оценки параметров распределения.
Математическая статистика - наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и использования статистических данных с целью изучения закономерностей, присущих массовым случайным явлениям. Многие задачи статистики связаны с исследованием и контролем количественных и качественных показателей продукции того или иного конкретного производства. В основе их решения лежит выборочный метод, сущность которого состоит в следующем. Обследуется распределение какого-либо признака для весьма большой совокупности объектов. Сделать это для каждого объекта совокупности практически невозможно, поэтому исследуют часть её - выборку. Очевидно, что по выборочным характеристикам можно судить обо всей совокупности только приближённо. Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины по данным выборки. В качестве оценки генеральной средней (среднего значения признака на всей совокупности объектов, подлежащих обследованию) служит выборочная средняя (среднее значение признака на части элементов генеральной совокупности, случайно отобранных из неё), а в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности используют исправленную выборочную дисперсию. Если случайная величина имеет нормальное распределение, то в этом случае становится возможным применять так называемые интервальные оценки. Доверительным интервалом называется найденный по данным выборки интервал (Θ – δ, Θ + δ), который покрывает оцениваемый параметр Θ с заданной надёжностью γ. Надёжность γ обычно принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999. Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр Θ. Но в этом можно быть уверенным на 95% при γ = 0,95, на 99% при γ = 0,99 и т.д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, γ = 0,95) вычисленные доверительные интервалы покрывают параметр Θ.
Задача. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в совхозе на площади 1000 га была определена её урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:
Найти: 1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всём массиве; 2) величину, которую следует принять за среднее квадратичное отклонение урожайности на всём массиве; 3) доверительный интервал в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всём массиве. Решение. 1) В качестве приближённого значения средней урожайности на всём массиве принимаем среднюю арифметическую данного в условии распределения, т.е. выборочную среднюю:
За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим: Значит, приближённое значение средней урожайности на всём массиве будет х ~ 32 ц. 2) Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу Sn2 = Значит, приближённое значение дисперсии на всём массиве будет, σ ~ 11,64, отсюда среднее квадратичное отклонение урожайности на всём массиве равно S = Получим Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всём массиве равна 32 ц со средней квадратичной ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратичного отклонения урожайности на всём массиве равна 3,4 ц. 3) Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством
согласно которому можно утверждать, что с надёжностью у доверительный интервал Поскольку n = 100 > 30, то пользуемся нормальным распределением. Значит, Из равенства 2Ф(tγ) = 0,95 следует Ф(tγ) = 0,475 и по таблице 3 приложения находим1,96. Следовательно, точность оценки
Концы доверительного интервала хв – δ = 32 – 0,67 = 31,33 и хв + δ = 32 + 0,67 – 32,67. Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свёклы на всём массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|