Билет №3 Основные алгебраические структуры. Векторные пространства и линейные отображения.

Алгебраические структуры. Алгебраическая система (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре – множество G (носитель) с заданным на нем набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций называется – моделью.

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы, как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R – модулей и т.п. Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Линейное отображение, линейный оператор – обобщение линейной числовой функции (точнее, функции у=kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Векторное (линейное) пространство – это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число – скаляр. Введенные операции подчинены 8 аксиомам. Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, которые используются, к примеру, для демонстрации физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства необязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия “вектор” до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы. Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры.

Билет №4 Основные понятия функционального анализа.

Функциональные анализ – раздел высшей математики, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Основные разделы классического функционального анализа – это теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальная на бесконечномерных пространствах. Во второй половине 20 века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических. Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описанных языком функционального анализа. В частности, в начале 21 века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (квантовая механика, теория струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теории преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также является частью функционального анализа. Образно функциональный анализ естественно рассматривать как обобщение соединенных вместе линейной алгебры и математического анализа \ пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Скалярное произведение иногда внутреннее произведение - операция над 2 векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

Билет №5 Комплексные числа. Действия над ними.

Комплексные числа Z называется выражение вида: z=x+y (z=a+bi), где х,у – действительные числа, a i –мнимая единица. Число х называется действительной частью комплексного числа и обозначается X=Rez, число y мнимой частью и обозначается y=Imz. Два комплексных числа Z1=X1+Y1, Z2=X2=Y2 называются равными тогда и только тогда когда равны их действительные части и мнимые X1=Y2 и X2=Y2.

Комплексное число =0 тогда и только тогда когда X=Y=0. Понятие больше меньше для комплексного числа не определено. Два комплексных числа отличаются только знаком мнимой части: Z1=X+iY, Z2=X-iY называются сопряженными.

Всякое комплексное число можно изобразить точкой. Например M(x,y) плоскости oxy такой, что x – действительная часть (Rez), у мнимая часть (Imz).

Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей. Т.е. если a+bi=c+di, то a=c, b=d и обратно, если a=c, b=d, то a+bi=c+di.

Правило сложения и вычитания комплексных чисел Z1+Z2=(X1+X2)+(Y1+Y2)

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле Z1-Z2=(X1-X2)+(Y1-Y2)

Правило умножения комплексных чисел Z1*Z2=(X1X2-Y1Y2)+(X1X2+Y1Y2). В тригонометрической форме: z1*z2=r1r2(cos(фи1+фи2)+isin(фи1+фи2)).

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Деление комплексного числа a+bi на комплексное число c+di, не равных нулю, определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле z1/z2=r1/r2(cos(фи1-фи2)+isin(фи1-фи2))