 |
Оптимальность интервальной маршрутизации: специальные топологии. 3 глава
|
|
|
|
Òåîðåìà 3.15 (Упорядочение) Слова, доставляемые q появляются в строго возрастающем порядке в массиве inp.
Äîêàçàòåëüñòâî. Предположим q получает пакет < data, s,i1,w, r > è доставляет w. Если перед получением не было соединения, B + i1 > pr (по Ëåììе 3.14), так что слова w располагается в inp после позиции pr. Если соединение было, i1 = Exp, значит B+i1 = B+Exp = pr+1 из (18), откуда следует, что w = inp[pr+1]. ð
3.2.3 Обсуждение протокола
Некоторые расширения протокола уже обсуждались во введении в этот раздел. И мы заканчиваем раздел дальнейшим обсуждением протокола и методов, представленных и используемых в этом разделе.
Качество протокола. Требования Нет потерь è Упорядочение являются свойствами безопасности, è они позволяют получить чрезвычайно простое решение, а именно протокол, который не посылает или получает никакие пакеты, и объявляет каждое слово потерянным. Само собой разумеется, что такой протокол, который не дает никакой транспортировки данных от отправителя к приемнику, не является очень "хорошим" решением.
Хорошие решения проблемы не только удовлетворяют требованиям Нет потерь и Упорядочение, но также объявляют потерянными как можно меньше слов. Для этой цели, протокол этого раздела может быть расширен механизмом, который посылает каждое слово неоднократно (пока не конец посылки интервала), пока не получит подтверждение. Интервал посылки должен быть достаточно длинным, чтобы можно было повторить передачу некоторого слова несколько раз, и чтобы вероятность, что слово потеряется, стала очень маленькой.
На стороне приемника предусмотрен механизм, который вызывает посылку подтверждения всякий раз, когда пакет доставлен или получен при открытом соединении.
|
|
|
Ограниченные порядковые номера. Порядковые номера, используемые в протоколе, могут быть ограничены, если получить для протокола результат, аналогичный Ëåììе 3.9 для сбалансированного протокола скользящего окна [Tel91b, Section 3.2]. Для этого нужно предположить, что скорость принятия слов (процессом p) ограничена следующим образом: слово может быть принято только если первое из предыдущих слов имеет возраст по крайней мере U + 2 m + R единиц времени. Для этого нужно к действию A p добавить сторож
{(High < L) V (Ut[B + High - L] <-R -2 m)}.
Учитывая это предположение, можно показать, что порядковые номера принимаемых пакетов лежат в 2L-окрестности вокруг Exp, è порядковые номера подтверждений - в L-окрестности вокруг High. Следовательно, можно передавать порядковые номера modulo 2L.
Форма действий и инвариант. Благодаря использованию утверждений, рассуждения относительно протокола связи уменьшены до (большого) манипулирования формулами. Манипулирование формулами - "безопасная" методика потому, что каждый шаг может быть проверен в очень подробно, так что возможность сделать ошибку в рассуждениях мала. Но есть риск, что читатель может потеряет идею протокола и его отношение к рассматриваемым формулам. Проблемы проектирования протокола могут быть поняты и с прагматической, и с формальной точки зрения. Fletcher и Watson [FW78] утверждают, что упрафляющая информация должна быть "защищена" в том смысле, что ее значение не должно измененяться потерей или дублированием пакетов; это - прагматическая точка зрения. При использовании в проверке утверждений, "значение" информации управления отражено в выборе специфических утверждений в качестве инвариантов. Выбор этих инвариантов и проектирование переходов, сохраняющих их, составляет формальную точку зрения. Действительно, как будет показано, наблюдение Fletcher и Watson может быть вновь показано в терминах "формы" формул, которые могут или не могут быть выбран как инварианты протокола, устойчивые к потере и дублированию пакетов.
|
|
|
Time- e: { d > 0}
begin (* Таймеры в p уменьшаются на d ' *)
d ':=...; (* £ d ' £ d ´ (1 + e) *)
forall i do Ut[i]:= Ut[i] - d ';
St:= St - d ';
(*Таймеры в q уменьшаются на d ' *)
d ":=...; (* £ d ''£ d ´ (1 + e) *)
Rt:= Rt - d ";
if Rt < 0 then delete (Rt, Exp);
(* r -поле передается явно *)
forall (.., r) Î Mp, Mq do
begin r:= r - d,
if r < 0 then remove packet
End
End
Àëãîðèòì 3.8 Измененное действие Time.
Все инвариантные предложения P2 относительно пакетов имеют форму
"m Î M: A(m)
è в самом деле легко видеть, что подобное предложение сохраняется при дублировании и потере пакетов. В дальнейших главах мы увидим инварианты в более общей форме, например
èëè
условие Þ $ m Î M: A(m).
Утверждения, имеющие этй форму могут быть фальсифицированы потерей или дублированием пакетов, è следовательно не могут использоваться в дîêàçàòåëüñòâе корректности Àëãîðèòìов, которые должны допускать подобные дефекты.
Подобные же наблюдения применимы к форме инвариантов в действии Time. Уже было отмечено, что это действие сохраняет все утверждения формы Xt ³ Yt + C,
где Xt è Yt -таймеры è C -константа.
P1 ¢ = cs Þ St £ S (1¢)
/\ cr Þ 0 < Rt £ R (2')
/\ " i < B + High: Ut[i] < U (3')
/\ " <.., r > Î Mp, Mq: 0 < r £ m (4')
/\ < data, s, i, w, r > Î M, Þ cs /\ St ³ ( 1 + e )(r+ m+(1+ e )R) (5')
/\ cr Þ cs /\ St ³ (l+ e )((i+ e )Rt+ m) (6')
/\ < ack, i, r > Î Mp Þ cs /\ St > (1 + e)´ r (7')
/\ < data, s, i, w, r > Î Mq, Þ (w = inp [ B + i] /\ i < High) (8')
/\ Ø cs Þ \/ i < B: 0k(i) (9')
/\ cs Þ \/ i < B + Low: 0k(i) (10')
/\< data ,true,I,w, r) Î Mq Þ" i<B+I: 0k(i) (11')
/\ cr Þ " i < B + Exp: 0k(i) (12')
|
|
|
/\ < ack, I, r > Î M pÞ" i < B+I: Ok(i) (13')
/\ < data, s, i, w, r) Î Mq Þ Ut[B+i] > (l+ e )(r - m) (14')
/\ i1 £ i2 < B + High Þ Ut[i1] < Ut[i2] (15')
/\ cr Þ Rt ³ (1 + e)((l + e) Ut[pr] + (1 + e)2 m) (16')
/\ pr < B + High /\ Ut[pr] >-( 1 + e ) m Þ cr (17')
/\ cr Þ B + Exp = pr +1 (18')
Ðèñóíîê 3.9 инвариант протокола с отклонением таймеров.
Неаккуратные таймеры. Действие Time моделирует идеальные таймеры, которые уменьшаются точно на d в течение d единиц времени, на на практике таймеры страдают неточности, называемой отклонением. Это отклонение всегда предполагается e -ограниченным, ãäå e-известная константа, что означает, что в течение d единиц времени таймер уменьшается на величину d ', которая удовлетворяет d /(l + e) £ d' £ d ´ (1 + e). (Обычно e бывает порядка 10-5 или 10-6.) Такое поведение таймеров моделируется действием Time- e, приведенном в Àëãîðèòìе 3.8.
Было замечено, что Time сохраняет утверждения специальной формы Xt ³ Yt + C потому, что таймеры обеих частей неравенства уменьшаются на в точности одинаковую величину, è из
Xt ³ Yt + C следует (Xt - d) ³ (Yt - d) + C. Такое жн наблюдение может быть сделано для Time- e. Для действительных чисел Xt, Yt, d, d ', d", r, è c, удовлетворяющих d > 0 è r > 1, из
(Xt ³ r2 Yt + c) /\ ( £ d ' £ d ´ r) /\ ( £ d '' £ d ´ r)
следует
(Xt- d ') ³ r2(Yt- d") + c.
Следовательно, Time- e сохраняет утверждение формы
Xt ³ (1 + e)2 Yt + c.
Теперь протокол может быть адаптирован к работе с отклоняющимися таймерами, если соответствующим образом изменить инварианты. Для того, чтобы другие действия тоже сохраняли измененные инварианты, константы R è S протокола должны удовлетворять
R ³ (1 + e)((1 + e )U + (I + e)2) è S ³ (1 + e)(2 m + (1 + e )R).
Исключая измененные константы, протокол остается таким же. Его инвариант приведен на Ðèñóíêе 3.9.
Òåîðåìà 3.16 P2'- инвариант протокола, основанного на таймере с e -ограниченным отклонением таймера. Протокол удовлетворяет требованиям Нет потерь и Упорядочение.
|
|
|
Упражнения к главе 3
Раздел 3.1
Óïðàæíåíèå 3.1 Покажите, что сбалансированный протокол скользящего окна не удовлетворяет требованию окончательной доставки, если из предположений Fl è FS, выполняется только F2.
Óïðàæíåíèå 3.2 Докажите, что если L = 1 в сбалансированном протоколе скользящего окна è ap è aq, инициализируются значениями -lq è -lp, то всегда верно ap+lq = sp è aq+lp = sq.
Раздел 3.2
Óïðàæíåíèå 3.3 В протоколе, основанном на таймере отправитель может объявить слово возможно потерянным, когда на самом деле оно было корректно доставлено приемником.
(1) Опишите выполнение протокола, при котором возникает этот феномен.
(2) Можно ли спроектировать протокол, в котором отправитель генерирует сообщение об ошибке в течение ограниченного промежутка времени, тогда и только тогда, когда слово не доставлено приемником?
Óïðàæíåíèå 3.4 Предположим, что из-за выхода из строя часового устройства, приемник не может закрыть соединение вовремя. Опишите работу протокола, основанного на таймере, когда слово теряется без сообщений отправителя.
Óïðàæíåíèå 3.5 Опишите работу протокола, основанного на таймере, в котором приемник открывает соелинение при принятии пакета с порядковым номером, большим нуля.
Óïðàæíåíèå 3.6 Действие Time- e не моделирует отклонение в оставшемся времени жизни пакетов. Почему?
Óïðàæíåíèå 3.7 Докажите Теорему 3.16.
Óïðàæíåíèå 3.8 Инженер сети хочет использовать протокол, основанный на таймере, но хочет, чтобы отчет о возможно потерянных словах приходил раньше, в соответствии со следующей модификацией E p.
E p: (* Генерация сообщения об ошибке для возможно потерянных слов *)
{ Ut[B + Low] < 0 }
begin error[B + Low]:= true; Low:= Low + 1 end
Продолжает ли тàêèì îáðàçîì измененный протокол удовлетворять требованиям Нет потерь и Упорядочение или должны быть сделаны какие-то изменения? Укажите преимущества и недостатки этих изменений.
4 Алгоритмы маршрутизации
Процесс (узел в компьютерной сети), вообще, не соединен непосредственно с каждым другим процессом каналом. Узел может посылать пакеты информации непосредственно только к подмножеству узлов называемых соседями узла. Маршрутизация - термин, используемый для того, чтобы описать решающую процедуру, с помощью которой узел выбирает один (или, иногда, больше) соседей для посылки пакета, продвигающегося к конечному адресату. Цель в проектировании алгоритма маршрутизации - сгенерировать (для каждого узла) процедуру принятия решения для выполнения этой функцию и предоставление гарантии для каждого пакета.
|
|
|
Ясно, что некоторая информация относительно топологии сети должна быть сохранена в каждом узле как рабочая основа для (локальной) решающей процедуры; мы обратимся к такой информации как таблицы маршрутизации. С введением этих таблиц проблема маршрутизации может быть разделена в две части.
1. Вычисление таблицы. Таблицы маршрутизации должны быть вычислены, когда сеть инициализирована и должна быть изменена, если топология сети изменилась.
2. Пересылка пакета. Пакет должен быть послан через сеть, используя таблицы маршрутизации.
Критерии для "хороших" методов маршрутизации включают следующие.
(1) Корректность. Алгоритм должен доставить каждый пакет, предложенный сети окончательному адресату.
(2) Комплексность. Алгоритм для вычисления таблиц должен использовать несколько сообщений, время, и память (хранение) насколько возможно.
(3) Эффективность. Алгоритм должен послать пакеты через "хорошие" пути, например, пути, которые доставляют только маленькую задержку и гарантируют высокую производительность всей сети. Алгоритм называется оптимальным, если он использует "самые лучшие" пути.
Другие аспекты эффективности - то, как быстро решение маршрутизации может быть сделано, как быстро пакет может быть подготовлен для передачи, и т.д., но эти аспекты получат меньшее количество внимания в этой главе.
(4) Живучесть. В случае топологического изменения (добавление или удаление канала или узла) алгоритм модифицирует таблицы маршрутизации для выполнения функции маршрутизации в изменяемой сети.
(5) Адаптивность. Алгоритм балансирует загрузку каналов и узлов, адаптируя таблицы, чтобы избежать маршрутов через каналы или узлы, которые перегружены, предпочитая каналы, и узлы с меньшей загруженностью в настоящее время.
(6) Справедливость. Алгоритм должен обеспечить обслуживание каждому пользователю в равной мере.
Эти критерии - иногда конфликтуют, и большинство алгоритмов выполняет хорошо только их подмножество.
Как обычно, сеть представляется как граф, где узлы графа - узлы сети, и существует ребро между двумя узлами, если они - соседи (то есть, они имеют канал связи между ними). Оптимальность алгоритма зависит от того, что называется "самым лучшим" путем в графе; существует, несколько понятий "самый лучший", каждый с собственным классом алгоритмов маршрутизации:
(1) Минимальное количество переходов. Стоимость использования пути измеряется как число переходов (пройденные каналы или шаги от узла до узла) пути. Минимальный переход, направляющий алгоритм, использует путь с самым маленьким возможным числом переходов.
(2) Самый короткий путь. Каждый канал статически назначен (неотрицательным) весом, и стоимость пути измеряется как сумма весов каналов в пути. Алгоритм с самой короткой дорожкой использует путь с самой низкой возможной стоимостью.
(3) Минимальная задержка. Каждый канал динамически означивается весом, в зависимости от трафика в канале. Алгоритм с минимальной задержкой неоднократно перестраивает таблицы таким способом, при котором пути с (близкой) минимальной общей задержкой выбираются всегда.
Другие понятия оптимальности могут быть полезны в специальных прикладных программах. Но не будут обсуждаться здесь.
Следующий материал обсуждается в этой главе. В Разделе 4.1 будет показано, что, по крайней мере, для маршрутизации с минимальным переходом и с самым коротким путем, можно направить все пакеты предназначенные d оптимально через дерево охватов, приложенное к d. Как следствие, отправитель пакета может игнорироваться, при расчете маршрутизации.
Раздел 4.2 описывает алгоритм, для вычисления таблицы маршрутизации для статической сети с каналами имеющими вес. Алгоритм распределенно вычисляет самый короткий путь между каждой парой узлов и в каждом исходном узле первого сосед на пути к каждому адресату. Недостаток этого алгоритма в том, что все вычисления должны быть повторены после изменения топологии сети: алгоритм не масштабируемый.
Алгоритм изменяемой сети, обсужденный в Разделе 4.3, не страдает из этого недостатка: он может адаптироваться к потере или восстановлению каналов частичным перевычислением таблиц маршрутизации. Чтобы анализ был простым, он реализован как минимальный переход, то есть число шагов принимается как стоимость пути. Возможно " изменить Netchange алгоритм, для работы с взвешенными каналами, которые могут теряться или восстанавливаться.
Алгоритмы маршрутизации Разделов 4.2 и 4.3 используют таблицы маршрутизации (в каждом узле) с записями для каждого возможного адресата. Это может слишком отяготить больших сетей из маленьких узлов. В Разделе 4.4 будут обсуждены некоторые стратегии маршрутизации, которые кодируют топологическую информацию в адресе узла, чтобы использовать более короткие таблицы маршрутизации или меньшее количество таблиц. Эти так называемые "компактные" алгоритмы маршрутизации обычно не используют оптимальные пути. Схема основой - деревом, интервальная маршрутизация, и префиксная маршрутизация также будет обсуждена.
Раздел 4.5 обсуждает иерархические методы маршрутизации. В этих методах, сеть разбита на разделы - кластеры, и различие сделано между маршрутизацией внутри кластера и маршрутизации между кластерами. Эта парадигма может использоваться, чтобы уменьшить количество решений маршрутизации.
4.1 Адресат-основанная маршрутизация
Решение маршрутизации, сделанное, когда пересылается пакет обычно основано только на адресате пакета (и содержании таблиц маршрутизации), и не зависит от первоначального отправителя (источника) пакета. Маршрутизация может игнорировать источник и использовать оптимальные пути, таковы выводы этого раздела. Выводы не зависят от выбора частного критерия оптимальности для путей. (Положим, что путь прост, если он содержит каждый узел только один раз, и путь - цикл, если первый узел равняется последнему узлу.)
(1)Стоимость посылки пакета через путь P не зависит от фактического использования пути, в частности использование ребер P в соответствии с другими сообщениями. Это предположение позволяет нам оценивать стоимость использования пути P как функцию пути; таким образом, обозначим стоимость P как C(P) ÎÂ..
(2) Стоимость конкатенации двух путей равняется сумме стоимостей составных путей, то есть, для всякого i = 0,..., k
C(<u o,u 1,...,u k>)=C(<u o,...,u i>)+C(<u i,...,u k>).
Следовательно, стоимости пустого пути < u 0 >(это - путь от u 0 до u 0) удовлетворяет C(<u 0>) = 0.
(3)Граф не содержит циклов отрицательной стоимости.
(Этот критерий удовлетворяется критерием самого короткого пути и критерием минимального перехода). Путь от u до v, называется оптимальным, если не существует никакой путь от u до v с более низкой стоимостью. Заметьте, что оптимальный путь не всегда единственен; могут существовать различные пути с той же самой (минимальной) стоимостью.
Лемма 4.1. Пусть u, v ÎV. Если путь из u в v существует в G, тогда и существует простой путь, который оптимален.
Доказательство. Так как количество простых путей конечное число, то существует простой путь от u до v, назовем его S o, с наименьшей стоимостью, т.е., для каждого простого пути P' из u в v C(S o) £ C(P’). Осталось показать что C(So) нижняя граница стоимостей всех (не простого) путей
Запишем V = {v 1,..., v n}. Следовательно, удаляя из P циклов, включающие v 1, v 1, v 2 и т.д., покажем что для каждого пути P из u в v существует простой путь P' с C(P') £ C(P). Положим P o = P, и построим для i = 1,..., N путь Pi следующим образом. Если v i входит в Pi-1 тогда Pi = Pi-1. Иначе, запишем Pi-1 = < u o ,...,u k>. Пусть u j1 будет первым и u j2 будет последним вхождением v i в Pi-1 и положим
P i = <u o,..., u j1(=u j2), u j2+1,...,u k>
по построению P i - путь из u к v и содержит все вершины из {v 1,..., v n} только единожды, следовательно P N -простой путь из u в v. P i-1 состоит из P i и цикла Q= u o,..., u j2 следовательно C (P i-1) = C (P i) + C(Q). Так как не существует циклов отрицательного веса, это предполагает C (P i) £ C(P i-1) и, следовательно, C(P N) £ C(P).
По выбору S o, C(S o) £ C(P N,), из которого следует C (S o) £ C(P) []
Если G содержит циклы отрицательного веса, оптимальный путь не обязательно существует; каждый путь может быть «побежден» другим путем, который пройдет через отрицательный цикл еще раз. Для следующей теоремы, примите, что G связный (для несвязных графов, теорема может применяться к каждому связному компоненту отдельно).
Теорема4.2. Для каждого d Î V существует T d = (V, E d) такое что E d Í E и такое что для каждой вершины v Î V, путь из v к d в T d - оптимальный путь от v к d в G.
Доказательство. Пусть V = { v 1,..., v N }. Мы индуктивно построим последовательность деревьев T i = (V i, E i) (для i = 0,...,N) со следующими свойствами
(1) Каждое T i - поддерево G, т.е., V i Ì V, E i Ì E, и T i - дерево.
(2) Каждое T i (для i < N) поддерево T i+1.
(3) Для всех i > 0, v i Î V i и d Î V i.
(4) Для всех w Î Vi, простой путь от w к d в T, - оптимальный путь от w к d в G.
Эти свойства подразумевают, что T N соответствует требованиям для T d.
Конструируя последовательность деревьев, положим V d = {d} и E o = Æ. Дерево T i+1 построим следующим образом. Выберем оптимальный простой путь P =< u o,..., u k> от v i+1 к d, и пусть l будет наименьшим индексом таким, что u l Î T i (такое l существует, потому что u l = d Î T i; возможно l = 0). Теперь:
V i = V i È{ u j: j <l } и E i+1 = E i È { (u j, u j+1): j < 1 }.
(Построение иллюстративно представлено на Рисунке 4.1.) Нетрудно видеть что T i поддерево T i+1 и что v i+1 Î V i+1. Чтобы увидеть что T i+1 дерево, заметим что по построению T i+1 связный, и число вершин превосходит число ребер на одно. (To имеет последнее свойство, на каждом шаге много вершин и ребер добавлено)
Рисунок 4.1 Построение Ti+1.
Осталось показать, что для всех w Î V i+1, (уникальный) путь от w к d в T i+1 - оптимальный путь от w к d в G. Для вершин w Î V i Ì V i+1 это следует, потому что T i поддерево T i+1; путь от w к d в T i+1 точно такой же, как путь в T i, который оптимален. Теперь пусть w = u j, j < l будет вершиной в V i+1 \ V,. Запишем Q для пути от u i к d в T i, тогда в T i+1 u j соединена с d через путь < u j,..., u l > соединенный с Q, и осталось показать, что этот путь оптимальный в G. Во-первых, суффикс P' = < u l,..., u k > в P оптимальный путь от u l до d, т.е., C(P') = C(Q): оптимальность Q подразумевает что C(P') ³ C(Q), и C(Q) < C(P') подразумевает (добавлением стоимости пути) что путь < u o,..., u l > соединен с Q имеющий меньший путь, чем P, противоречащий оптимальности P. Теперь положим, что R из u j к d имеет меньшую стоимость, чем путь < u j,..., u l > соединенный с Q. Тогда, по предыдущим наблюдениям, R имеет меньшую стоимость, чем суффикс < u j,..., u k > P, и это предполагает что путь < u o,..., u j > соединенный с R имеет меньшую стоимость, чем P, противоречащий оптимальности P. Ž
Дерево охвата, приложенное к d, называется деревом стока для d, и дерево со свойством, данным в Теореме 4.2, называется оптимальным деревом стока. Существование оптимальных деревьев стока не является компромиссом оптимальности, если только алгоритмы маршрутизации рассматриваются, для которого механизм пересылки, как в Алгоритме 4.2. В этом алгоритме, table_lookup u локальная процедура с одним параметром, возвращая соседа u (после консультации с таблицами маршрутизации). Действительно, поскольку все пакеты для адресата d могут быть направлены оптимально используя дерево обхвата, приложенное к d, пересылка оптимальна, если, для всего u ¹d, table_lookup u(d) возвращает отца u в дереве охвата T d.
|
|
|
