 |
Оптимальность интервальной маршрутизации: специальные топологии. 10 глава
|
|
|
|
Рисунок 5.6 Пример лайфлока.
Контроллер свободен от лайфлока, если ни одна конфигурация лайфлока не достижима из конфигурации, в которой нет пакетов.
В оставшейся части этого подраздела будет доказана свобода контроллера буферных графов от лайфлока; в конце будут упомянуты расширения неструктурированных решений.
Контроллер буферного графа. Можно продемонстрировать, что контроллеры Раздела 5.2 лайфлок-свободны без каких-либо модификаций, если их передвижения в бесконечной последовательности удовлетворяют ряду справедливых предположений. Fl и F2 - сильные предположеня и F3 - слабое предположение.
Fl. Если порождение пакета p предпринимается непрерывно, то каждое бесконечное вычисление, в котором fb (p) свободен в бесконечно большом количестве конфигураций, содержит порождение p.
F2. Если в конфигурации g пакет p должен быть послан от u до w, то каждое бесконечное вычисление, начинающееся в g, в котором nb (p, b) является свободным в бесконечно большом количестве конфигураций, содержит пересылку p.
F3. Если пакет p находится в своем пункте назначения в конфигурации g, то каждое бесконечное вычисление, начинающееся в g, содержит выведение p.
Лемма 5.24 Если справедливые предположения F2 и F3 удовлетворяются в каждом бесконечном вычислении bgc, то каждый буфер свободен бесконечно часто.
Доказательство. Доказывать будем индукцией сверху вниз по классам буферов. Как в доказательстве Теоремы 5.7, пусть R - наибольший буферный класс. Напомним, что в конфигурациях, достижимых под управлением bgc, все пакеты располагаются в подходящих буферах.
Случай r = R: Буфер класса R не имеет исходящих ребер, и, следовательно, пакет из такого буфера достигает пункта назначения. Следовательно, по предположению F3, после каждой конфигурации, в которой такой буфер занят, будет конфигурация, в которой буфер свободен. Отсюда следует, что он пуст в бесконечно большом количестве конфигураций.
|
|
|
Случай r < R: Пусть g - конфигурация, в которой буфер b класса r < R занят пакетом p. Если p достиг своего пункта назначения, то позже будет конфигурация, в которой b будет пустым из F3. Иначе, p должен быть продвинут в буфер nb(p, b) класса r' > r. По индукции, в каждом бесконечном вычислении, начинающемся в g, этот буфер пуст бесконечно часто. Из этого следует (по F2), что p будет передан и, следовательно, будет конфигурация g, после которой b будет пуст.
Теорема 5.25 Если справедливые предположения F1, F2 и F3 удовлетворяются, то в каждом бесконечном вычислении каждый пакет, предлагаемый сети, будет выведен из своего пункта назначения.
Доказательство. По Лемме 5.24 все буферы пусты в бесконечно большом количестве конфигураций. Значит (по Fl) каждый паке, который продолжает предлагаться сети, будет сгенерирован. По F2 он будет продвигаться, пока не достигнет своего пункта назначения. ð
Легко предположить, что механизм недетерминированного выбора в распределенной системе гарантирует, что эти три предположения удовлетворяются. Альтернативно, предположения могут быть введены добавлением к контроллеру механизма, который гарантирует, что, когда буфер становится пустым, более старым пакетам позволяется входить с большими приоритетами.
Неструктурированные решения. Контроллеры Раздела 5.3 нужно модифицировать, чтобы они стали лайфлок-свободными. Это может быть показано моделированием бесконечного вычисления, в котором непрерывный поток пакетов заставляет контроллер запрещать пересылку некоторого пакета. Toueg [TouSOb] представляет такое вычисление (для FC) и представляет модификацию FS (подобную представленной здесь для контроллеров буферных графов), которая является лайфлок-свободной.
|
|
|
Упражнения к Главе 5
Раздел 5.1
Упражнение 5.1 Покажите, что не существует беступикового контроллера, который использует только один буфер на вершину и позволяет каждой вершине посылать пакеты по крайней мере одной другой вершине.
Раздел 5.2
Упражнение 5.2 Покажите, что dest не является беступиковым, если маршрутизация пакетов осуществляется как на Рисунке 5.2.
Упражнение 5.3 (Схема сколько-будет-переходов) Дайте буферный граф и функции fb и nb для контроллера, который использует буфер bu[i] для хранения пакетов, которым нужно сделать еще i переходов по направлению к своим пунктам назначения. Каков буферный класс bu [i]? Нужно ли хранить счетчик переходов в каждом пакете?
Упражнение 5.4 Закончите доказательство того, что граф BGa (определенный в доказательстве Теоремы 5.13)- в самом деле буферный граф, т.е., для каждого пути P Î P существует гарантированный путь с образом P. Покажите, что, как утверждалось, fb и nb в самом деле описывают путь в BG a.
Проект 5.5 Докажите, что существует беступиковый контроллер, для коммутации пакетов в гиперкубе, который использует всего два буфера на вершину и позволяет маршрутизировать пакеты через минимальные пути. Можно ли получить набор используемых путей посредством алгоритма интервальной маршрутизации (Подраздел 4.4.2)? Можно ли использовать схему линейной интервальной разметки?
Раздел 5.3
Упражнение 5.6 Докажите, что BC и BS - беступиковые контроллеры.
Упражнение 5.7 Докажите, каждое передвижение, позволяемое BC, также позволяется FC.
|
|
|
