Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Операції над множинами

Розглянемо дві множини А і В та введемо низку операцій над ними. Для графічної ілюстрації використовують діаграми (кола) Ейлера. Для зображення множини на площині креслять замкнену лінію із заштрихованою внутрішньою областю (найчастіше – це коло, звідси й назва відповідного інструмента, що широко застосовується в теорії множин).

Об’єднання А і В – множина, що складається з усіх елементів множини А, всіх елементів множини В і не містить ніяких інших елементів (рис. 1), тобто

А È В = { x | x Î А або x Î В }.

Рис. 1

Перетин А і В – множина, що складається з тих і тільки з тих елементів, які належать одночасно множині А та множині В (рис. 2), тобто

А Ç В = { x | x Î А і x Î В }.

Рис. 2

Різниця А і В (відносне доповнення) – множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А й не належать множині В (рис. 3), тобто

А \ В = { x | x Î А і x Ï В }.

Рис. 3

Диз’юнктивна сума А і В (симетрична різниця) – множина, що складається усіх елементів А, які не належать множині В, й усіх елементів В, які не належать множині А, та яка не містить ніяких інших елементів (рис. 4), тобто

А Å В = { x | (x Î А і x Ï В) або (x Î В і x Ï А)}.

Рис. 4

Доповнення множини.

Звичайно, вже в означенні конкретної множини явно або неявно обмежується сукупність об’єктів, що є допустимими (слони – серед тварин, натуральні числа – серед цілих або дійсних залежно від контексту). Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явно та вважати, що множини, які розглядаються, складаються з елементів цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) і позначають U. Універсум U арифметики – числа, універсум U зоології – тварини і т.д. Будь-яку множину розглядатимемо у зв’язку з універсумом, який на діаграмах Ейлера асоціюватимемо з прямокутником на площині, всередині якого зображатимемо множини (рис. 5).

Рис. 5

Доповнення множини А – це множина, що містить усі елементи універсуму, за винятком елементів А (рис. 6), тобто .

Рис.6

Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент А є елементом В. Для позначення цього факту вводиться знак Ì - символ строгого включення (або Í - символ нестрогого включення) (рис. 7). Якщо необхідно підкреслити, що множина В містить також інші елементи, крім елементів множини А, то використовують символ строгого включення А Ì В.

Дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Справджується таке: А = В тоді і тільки тоді, коли А Í В і В Í А.

Рис. 7

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A ´ B) називається множина всіх пар (a, b), в яких перша компонента належить множині A (a Î A), а друга - множині B (b Î B).

Тобто

A ´ B = {(a, b) | a Î A і b Î B }

Декартовий добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A ₁, A ₂,..., A_n - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a ₁, a ₂,..., a_n) | a ₁Î A ₁, a ₂Î A ₂,..., a_n Î A_n },

яка складається з усіх наборів (a ₁, a ₂,..., a_n), в кожному з яких i -й член, що називається i -ю координатою або i -ю компонентою набору, належить множині A_i, i =1,2,..., n. Декартовий добуток позначається через A ₁´ A ₂´...´ A_n.

Набір (a ₁, a ₂,..., a_n), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a ₁, a ₂,..., a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a ₁, a ₂,..., a_n) і (b ₁, b ₂,..., b_n) однакової довжини вважаються рівнимитоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i = b_i, i =1,2,..., n. Отже, набори (a, b, c) і (a, c, b) вважаються різними, в той час як множини { a, b, c } і { a, c, b } - рівні між собою.

Декартовий добуток множини A на себе n разів, тобто множину A ´ A ´...´ A називають n -м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ.

Прийнято вважати, що A ⁰ = Æ (n =0) і A ¹ = A (n =1).

Наприклад, якщо A = { a, b } і B = { b, c, d }, то

A ´ B = {(a, b),(a, c),(a, d),(b, b),(b, c),(b, d)},

A ² = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.

Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R ² - це множина пар (a, b), де a, b Î R, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена операція над множинами і називається декартовим добутком.

Множину, елементами якої є всі підмножини множини А, називають множиною підмножин множини А (або булеаном множини А) і позначають Р (А). Так, для триелементної множини А = { a, b, c } маємо P (A)={Æ, { a }, { b }, { c }, { a, b },{ b, c }, { a, c }, { a, b, c }}. У разі скінченної множини А з n елементів, множина підмножин Р (А) містить 2 ⁿ елементів.

Алгебра множин

Операції над множинами, як і операції над числами, мають деякі властивості (табл.). Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретних множин, що входять у ці тотожності та є підмножинами деякого універсуму U.

Таблиця

Комутативність
1а) А È В = В È А	1б) А Ç В = В Ç А
Асоціативність
2а) А È (В È С) = (А È В) È С	2б) А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С
Дистрибутивність
3а) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)	3б) А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
Властивості порожньої множини Æ та універсуму U
4а) А È Æ = A	4б) А Ç U = A
5а)	5б)
6а) А È U = U	6б) А Ç Æ = Æ
7а)	7б)
Самопоглинання
8а) А È A = A	8б) А Ç A = A
Поглинання
9а) А È (А Ç В) = А	9б) А Ç (А È В) = А
Правило де Моргана
10а)	10б)
Властивості доповнення, різниці, диз’юнктивної суми
11)
12)
13)
14) А Å В = В Å А
15) А Å (В Å С) = (А Å В) Å С
16) А Å Æ = Æ Å A = A

Основний метод доведення тотожностей в алгебрі множин ґрунтується на згаданому раніше факті: А = В тоді і тільки тоді, коли А Í В і В Í А. Доведемо, наприклад, тотожність 3а) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

Доведемо спочатку, що А È (В Ç С) Ì (А È В) Ç (А È С). Для цього візьмемо будь-яке x Î А È (В Ç С), тоді за означенням операцій È та Ç маємо x Î А або (x Î В і x Î С). За законом дистрибутивності “або” відносно “і” (x Î А або x Î В) і (x Î А або x Î С), тобто x Î А È В і x Î А È С. Це рівносильно x Î (А È В) Ç (А È С), що й треба було довести.

Доведемо тепер, що (А È В) Ç (А È С) Ì А È (В Ç С). Для цього візьмемо будь-яке x Î (А È В) Ç (А È С). Звідси (x Î А або x Î В) і (x Î А або x Î С). Це рівносильно x Î А або (x Î В і x Î С), тобто x Î А È (В Ç С), що й потрібно було довести.

Таким чином, А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

Із властивості асоціативності операції об’єднання множин випливає, що об’єднання кількох множин можна виконати, послідовно об’єднуючи їх, причому порядок входження множин не впливає на результат: А È (В È С) = (А È В) È С = А È В È С. Отже, об’єднання сукупності множин можна подати співвідношенням: .

Аналогічно на n множин узагальнюється операція перетину: .

Використовуючи узагальнення операцій об’єднання та перерізу на n множин, можна узагальнити також інші співвідношення, наприклад закон де Моргана, який в узагальненому вигляді записується так: і .

Зауважимо, що операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A ´ B)´ C і A ´(B ´ C), а також множини A ´ B і B ´ A, взагалі кажучи, не рівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими операціями над множинами встановлюється такими тотожностями:

(A È B) ´ C = (A ´ C) È (B ´ C),

(A Ç B) ´ C = (A ´ C)Ç(B ´ C),

A ´ (B È C) =(A ´ B) È (A ´ C),

A ´ (B Ç C) =(A ´ B)Ç(A ´ C).

Сукупність підмножин A ₁, A ₂, …, A_n множини A називається розбиттям множини A, якщо:

1. ;

2. A_i Ç A_j = Æ, i, j =1,.., n, i ¹ j.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒