 |
Композиція відображень
|
|
|
|
Нехай задано два відображення: f : X → Y та g: Y → Z. Тоді композицією відображень f і g (позначаємо символом g ○ f) будемо називати відображення з множини X в множину Z, визначене виразом g ○ f (x) = g (f (x)) для всіх елементів x з множини X. Прийняте правило, згідно з яким у композиції g ○ f треба починати з відображення f, розташованого праворуч.
Наприклад, нехай маємо множини Х = {l, 2, 3, 4}, Y = { а, b, c }, Z = { u, v }та два відображення
f : Х → Y, 
, g : Y → Z, 
Тоді композиція заданих відображень g ○ f: Х → Z, 
Композиція відображень асоціативна, тобто якщо маємо три відображення f : X → Y, g: Y → Z, h: Z → U, то (h ○ g) ○ f = h ○ (g ○ f) = h ○ g ○ f.
Відображення g: Y → X називається оберненим до відображення f : X → Y, якщо виконуються такі умови f -1 ○ f = IX (IX - тотожне відображення на множині X), f ○ f -1 = IY (IY - тотожне відображення на множині Y).
Для відображення f існує обернене відображення f -1 тоді і тільки тоді, коли відображення f бієктивне. Обернене відображення f -1 також є бієктивним.
Якщо f : X → Y - бієкція й g: Y → Z - бієкція, то g ○ f - бієкція з Х в Z, а її обернена бієкція дорівнює f -1 ○ g -1.
Наприклад, нехай задані множини Х ={l, 2, 3}, Y = { а, b, c } та відображення f : Х → Y, 
. Це відображення є бієктивним, і тому до нього існує обернене f -1: Y → X, 
. Дійсно, f -1 ○ f = 
= IX та f ○ f -1 = 
= IY.
Відношення
Розглянемо декартовий добуток другого степеня множини Х: Х2 = Х ´ Х. Довільну підмножину R множини Х2 (R Í Х2) будемо називати бінарним відношенням (або просто відношенням), заданим на множині Х. Вважатимемо, що впорядковані елементи x, х' Î Х знаходяться між собою у відношенні R, коли (x, х') Î R. Якщо на Х задано відношення R Í X 2, то запис x R х' означає, що x і х' знаходяться у відношенні R, тобто(x, х') Î R.
|
|
|
Розглянемо кілька прикладів відношень:
1) на множині N відношення £. Ясно, що впорядковані пари (3, 7) і (5, 5) належать цьому відношенню, а пара (4, 1) не належить;
2) на множині Р (Х) всіх підмножин множини Х = {1, 3, 5, 7, 9} відношення Í. Пари підмножин ({1, 3}, {1, 3, 9}) і ({5, 7, 9}, {5, 7, 9}) належать цьому відношенню, а пара підмножин ({1, 5, 7}, {3, 5, 9}) не належить.
Відношення R на множині X називається:
1) рефлективним, якщо довільний елемент множини знаходиться у відношенні сам з собою, тобто для будь-якого х Î Х виконується х R х. Прикладами рефлективних відношень можуть бути ≤, ≥, = на множині натуральних чисел;
2) антирефлективним, якщо для будь-якого х Î Х пара (х, х) не належить до відношення R. Прикладами антирефлективних відношень можуть бути <, >, ≠ на множині раціональних чисел;
3) симетричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' випливає х' R x;
4) антисиметричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' і х' R x, випливає x = х' (наприклад, £ на N, тому що з x £ х' і х' £ x випливає х = х');
5) транзитивним, якщо для довільних x, х', х'' Î Х з того, що x R х' і х' R х'', випливає x R х'' (наприклад, відношення Í на множині Р (Х) чи відношення £ на множині N).
Наведемо деякі приклади відношень:
1) R = {(x, х ') | x, х ' Î Q, | x - х ' | £ 2007}
Відношення рефлективне, бо для будь-якого x Î Q виконується нерівність | x - х | £ 2007
Відношення не є антирефлективним, бо скажімо для елемента x =5Î Q нерівність | x - х | £ 2007 виконується.
Відношення є симетричним, бо для довільних x, х ' Î Q, з нерівності | x - х ' | £ 2007 випливає нерівність | x ' - х | £ 2007
Відношення не є антисиметричним, бо для різних елементів x =7 та x '=5 з множини Q одночасно виконуються нерівності | x - х ' | £ 2007 та | x ' - х | £ 2007
Відношення не є транзитивним, бо для елементів x =2010, x '=1 та x ''=10 з множини Q нерівності | x - х ' | £ 2007 та | x ' - x '' | £ 2007 виконуються, а нерівність | x - х '' | £ 2007 не виконується.
|
|
|
2) R = {(x, y) | x, y Î С, якщо | x | £ | y | £ | y 2|}
Розглянемо далі відношення, які мають особливе значення.
|
|
|
