Визначення і приклади

Нехай задано дві множини Х і Y. Відображення f з множини Х в множину Y кожному елементу х з множини Х ставить у відповідність деякий (один) елемент f (х) з множини Y. Елемент f (х) називають образом елемента х при відображенні f. Символічно відображення записується так: f: Х ® Y чи X Y. У випадку Y = Х кажуть ще про відображення f множини Х в (на) себе.

Якщо Х = { x ₁, x ₂, …, x_n } – скінченна множина, тo відображення f: Х ® Y, можна задати записом з двох рядків f = , де f (х_i) Î Y, i = 1, 2, …, n.

Наприклад, f : Х → Y, Х = {l, 2, 3, 4, 5}, Y = { а, b, c }, f = .

Відображення часто ілюструють за допомогою діаграм (рис. 8), де відповідність між елементами показують стрілками. Відображення задане в попередньому прикладі зображене на рис. 8а. Відповідності рис. 8б та рис. 8в відображеннями не будуть, оскільки на рис. 8б елемент 1 Î X не має образу в множині Y, а на рис. 8в елементу 3 Î X ставиться у відповідність два елементи з множини Y: b та c.

Рис. 8

Приклади відображень:

1) f (x) = є відображенням множини відмінних від нуля елементів множини дійсних чисел R\ {0} в R.

2) Якщо, Х - множина дійсних функцій φ (х), визначених та інтегрованих на інтервалі [ a, b ], то інтеграл є відображенням з множини Х в множину дійсних чисел R.

3) Якщо X - множина кривих скінченної довжини на площині, то можна визначити відображення з Х в множину R ₊ додатних дійсних чисел, яке кожній кривій ставить у відповідність її довжину.

Деякі часткові випадки

1. Відображення f множини Х в множину Х, визначене рівністю f (х) = х, називається тотожним.

2. Якщо Х є підмножиною Y, то відображення Х в Y, визначене рівністю f (х) = х, називається канонічною ін’єкцією Х в Y.

3. Відображення з прямого добутку множин Х ´ Y в X, що ставить у відповідність кожній парі (x, y) Î Х ´ Y елемент х Î Х, називається проекцією на множину X. Аналогічно визначається проекція на множину Y.