Расчет межгрупповой дисперсии

 

Группы банков по размеру процентной ставки	Число банков	Сумма выданных кредитов на 1 банк		()2	()2n
А
11 – 14 14 – 17 17 – 20 20 – 23 23 – 26		26,39 19,62 13,21 6,61 2,25	11,26 4,49 -1,92 -8,52 -12,88	126,79 20,16 3,69 72,59 165,89	507,15 120,96 14,75 217,77 497,68
Итого		15,13	–	–	1358,31

 

Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле

 

= =67,92.

 

Для расчета общей дисперсии возведем все значения «у» в квадрат.

Таблица 10.4.

у	у2	у	у2	у	у2	у	у2	у	у2
9,54 13,56 22,33 27,43	91,01 183,87 498,63 752,40	13,58 3,25 27,7 21,2	184,42 10,56 767,29 449,44	13,5 2,5 19,63 5,1	182,25 6,25 385,34 26,01	17,9 12,2 1,0 26,55	320,41 148,84 1,00 704,90	23,88 20,18 5,2 16,45	570,25 407,23 27,04 270,60
									5987,74

 

Рассчитаем общую дисперсию по формуле.

 

= – 228,92 = 70,47.

 

Тогда коэффициент детерминации будет:

 

η² = = 0,964.

 

Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на 96,4% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 3,6% – прочими факторами.

Эмпирическое корреляционное отношение будет равно:

η = = = 0,98.

Оно показывает, что связь между суммой выданных банком кредитов и размером процентной ставки очень тесная.

Теоретическую формулу связи выбирают в виде математического уравнения. Например,

уравнения линейной связи: у_х = а₀ + а₁х;

 

уравнения гиперболы: у_х = а₀ + а₁ ;

 

уравнения параболы 2-го порядка и т.д. у_х = а₀ + а₁х + а₂х².

 

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой:

у_х = а₀ + а₁х,

где у – индивидуальные значения результативного признака;

х – индивидуальные значения факторного признака;

а₀, а₁ – параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);

у_х – теоретическое значение результативного признака.

Найти теоретическое уравнение связи – это значит рассчитать параметры прямой линии способом наименьших квадратов, который дает систему двух нормальных уравнений:

,

где n – число показателей.

Теоретическое уравнение у_х = а₀ + а₁х выражает функциональную зависимость у от х. Это возможно допустить, если прочие факторы, влияющие на у, не оказывают в данном случае существенного влияния. Это бывает, когда корреляционная зависимость между у и х высокая. В этом случае параметр а₁ при х в уравнении регрессии приобретает большое практическое значение. Этот параметр, который называется коэффициентом регрессии, характеризует, в какой мере увеличивается у_х с ростом величины х.

Пример 2. Имеются выборочные данные по 5 однородным предприятиям:

 

Данные	Номер предприятия
Энерговооруженность труда 1 рабочего, квт.-ч.	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Выпуск готовой продукции на 1 рабочего, шт.

Вычислить уравнение корреляционной связи и построить график.

Решение: Предположим, что между энерговооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой:

 

у_х = а₀ + а₁х.

 

Факторным признаком является энерговооруженность труда, а результативным – выпуск готовой продукции.

Вычислим параметры прямой с помощью системы двух нормальных уравнений:

.

 

Для решения системы построим расчетную таблицу.

Таблица 10.5.

Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

 

№ предприятия	Энерговооружен-ность труда на 1 рабочего, квт.-ч. х	Выпуск продукции на 1 рабочего, шт. у	ху	х2	ух
	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0			1,0 2,25 4,0 6,25 9,0	21,6 24,0 26,4 28,8 31,2
Итого	10,0			22,5

 

Подставив в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы 10.5, получим:

+

Решим систему методом исключения, то есть умножим каждый член первого уравнения на (-2), получим:

+ .

2,5 а₁ = 12

 

Уравнения сложим. Получили 2,5 а₁ = 12, откуда

а₁ = = 4,8.

Подставим значение а₁ в первое уравнение и определим а_0.:

5 а₀+ 48 а₁ = 132 а₀ = = 16,8.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

 

у_х = 16,8 + 4,8х.

 

В нашем уравнении регрессии а₁ = 4,8 показывает, что с увеличением энерговооруженности труда одного рабочего на 1 квт.-ч. выпуск готовой продукции возрастает на 4,8 штуки. Построим график корреляционной зависимости между энерговооруженностью труда одного рабочего и выпуском готовой продукции на одного рабочего. Определим все значения у_х, подставляя в уравнение все значения х, и данные занесем в таблицу 10.5.

 

у

х

ух

у

Рис. 10.1. График корреляционной зависимости энерговооруженности труда одного рабочего и выпуском готовой продукции на одного рабочего.

 

Одним из важнейших этапов исследования корреляционной связи является измерение ее тесноты. Для этого применяются: линейный коэффициент корреляции и индекс корреляции.

Индекс корреляции применяется для измерения тесноты связи между признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной. Индекс корреляции можно вычислить только после того, как определена форма связи и исчислена теоретическая линия регрессии.

Индекс корреляции рассчитывается по формуле:

R = ,

где = – общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию;

= – остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих неучтенных факторов.

Индекс корреляции изменяется от 0 до 1: чем ближе индекс к 1, тем теснее связь между признаками.

Частным случаем индекса корреляции является линейный коэффициент корреляции, который применяется только при линейной форме связи:

 

r = .

 

В отличие от индекса корреляции линейный коэффициент корреляции показывает не только тесноту связи, но и направление связи (прямая или обратная) и изменяется от –1до +1.

Пример 3. По данным примера 2 измерить тесноту связи между производительностью труда и энерговооруженностью труда линейным коэффициентом корреляции и индексом корреляции.

Решение: Для расчета линейного коэффициента корреляции построим расчетную таблицу.

 

Таблица 10.6.

Расчет показателей

для определения линейного коэффициента корреляции

 

№ предприятия	Энерговооружен-ность труда на 1 рабочего, квт.-ч. х	Выпуск готовой продукции на 1 рабочего, шт. у	ху	х2	у2
	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0			1,0 2,25 4,0 6,25 9,0
Итого	10,0			22,5

 

Подставим данные таблицы в формулу линейного коэффициента корреляции:

r = =0,804.

 

Связь между энерговооруженностью труда и производительностью труда довольно-таки тесная.

Для расчета индекса корреляции необходимо предварительно вычислить общую и остаточную дисперсии, для чего построим расчетную таблицу.

Таблица 10.7.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: