Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Один из видов классических задач линейного программирования связан с проблемой подбора оптимального набора пищевых продуктов для составления диеты.




Для того чтобы жить, человек должен ежедневно получать в необходимых количествах белки, жиры, углеводы, витамины, микроэлементы и прочие питательные вещества. Эти вещества попадают в организм с разнообразными пищевыми продуктами.

Задача данной исследовательской работы состоит в определении такого набора продуктов, который, с одной стороны, обеспечивал бы жизненные потребности человека, а с другой – имел бы минимальную стоимость.

III. Задача о диете

Общая формулировка задачи о диете

I. Содержательное описание

Имеется несколько видов продуктов. Определить рацион питания (количество каждого вида продукта) так, чтобы были обеспечены нижние границы норм потребления некоторых питательных веществ, а стоимость рациона была наименьшая. Цены за единицу каждого продукта известны.

II. Математическая модель

2.1. Исходные параметры

– количество видов продукта

– количество контролируемых питательных веществ

– нормы потребления каждого питательного вещества (нижние границы)

– содержание i-го питательного вещества в единице j-го продукта

– цена каждого продукта

2.2. Управляемые параметры (варьируемые параметры)

– объем закупок каждого продукта

– вектор управляемых параметров (решение, план закупок или рацион)

2.3. Ограничения модели

Потребление каждого питательного вещества не должно быть ниже нормы.
Пусть – содержание i-го питательного вещества в произвольном рационе .

Нужно выбрать наилучшее решение.

III. Формулировка цели принятия решений

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть – стоимость произвольного рациона . Требуется найти рацион наименьшей стоимости

Таким образом, задача о диете ставится как задача определения такого набора управляемых параметров

,

при которых достигается наименьшее значение критерия

  (4)     (5)   (6)

при условии

Пример решения общей задачи о диете графическим методом.

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 69 условных ед. белков, не менее 84 условных ед. жиров, не менее 39 условных ед. углеводов. Имеется два вида продуктов и : стоимость единицы каждого из них равна соответственно 4 и 12 ден. ед. Имеем таблицу содержания белков, жиров и углеводов в продуктах П₁ и П₂:

  Белки Жиры Углеводы
Продукт П₁      
Продукт П₂      

 

Требуется составить математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов П₁ и П₂ суточную диету, которая содержала бы белков, жиров и углеводов не меньше минимальных обоснованных норм и требовала бы минимальных денежных затрат. Решим данную задачу графическим способом.

Решение.

Обозначим через х₁ и х₂ количества единиц соответственно продуктов П₁ и П₂, которые составят суточную диету, а через - затраты, связанные с приобретением продуктов. Тогда целевую функцию в принятых обозначениях и с учетом цен на продукты можно записать в виде:

(1.1)

где 4 х₁ - стоимость х₁ единиц продукта П₁, 12 х₂ - стоимость х₂ единиц продукта П₂. Состав () суточной диеты должен удовлетворять упомянутым в задаче ограничениям на содержание в нем белков, жиров и углеводов. Например, белков в х₁ единицах продукта П₁ будет присутствовать 3 х₁ усл. ед, белков в х₂ единицах продукта П₂ будет присутствовать 16х₂ условных ед., так что общее количество белка в диете составит 3 х₁ +16х₂ условных единиц. По условию задачи эта сумма должна быть не меньше 69, что можно выразить неравенством:

(1.2)

Проводя аналогичные рассуждения в отношении жиров и углеводов, получим еще два неравенства, которым должны удовлетворять переменные х₁ и х₂:

(1.3)

(1.4)

По смыслу задачи переменные и не могут выражаться отрицательными числами, откуда

(1.5)

Соотношения (1.1) - (1.5) образуют математическую модель данной задачи. Таким образом, математическая задача состоит в нахождении решения х₁ и х₂ системы неравенств (1.2)-(1.5), доставляющего минимум функции (1.1).

Построим на координатной плоскости (х₁0х₂) область допустимых решений системы неравенств (1.2)-(1.5). Запишем уравнения граничных прямых, соответствующих неравенствам (1.2)-(1.5):

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Учитывая, что неравенства (1.5) определяют первую четверть координатной плоскости , находим область допустимых решений системы неравенств (1.2)-(1.5), как общую часть (пересечение) всех установленных полуплоскостей. В нашем случае это выпуклая неограниченная многоугольная область с вершинами A, B, C и D (см. рис.).

Остается в этой области найти точку, координаты которой доставляют минимум функции (1.1). Из рисунка видно, что последней (крайней) точкой области допустимых решений является точка C. Именно в этой точке функция и достигает наименьшего значения. Координаты точки C находятся в результате совместного решения уравнений прямых (1.6) и (1.8) – граничных прямых BС и СD, пересекающихся в этой точке:3∙х₁+16∙х₂=69; 3∙х₁+6∙х₂=39. Итак, х₁=7; х₂=3 и f=4∙7+12∙3=6. Итак по оптимальному плану в суточную диету следует включить 7 единиц продукта П₁ и 3 единицы продукта П₂. При этом затраты будут минимальными и составят 64 денежных единицы.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...