 |
Итак, чтобы дневной рацион содержал 75мг витамина С и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно съедать 0,375кг апельсинов и 0,25кг яблок.
|
|
|
|
Следующую задачу я взяла из Исследования Операций: Приложения и Алгоритмы, Издание четвертое, автор Вейн Л. Уинстон (Томсон, 2004 г.). В этом сборнике задача только сформулирована. А я ее решила! Предлагаю посмотреть решение.
Задача № 5. Моя диета требует, чтобы вся пища, которую я ем, принадлежала к одной из четырех "основных пищевых групп": шоколадное пирожное, мороженое, газированная вода и творожный пудинг. Одно пирожное стоит $0.50, одна порция мороженого стоит $0.20, одна бутылка колы стоит $0.30, и один кусок пудинга стоит $0.80. Каждый день я должен получать не менее 500 калорий, 6 унций (1 унция = 28,35 грамм) шоколада, 10 унций сахара и 8 унций жира. Содержание питательных веществ на единицу для каждого вида пищи приведено в таблице ниже. Удовлетворите мои потребности в питании с наименьшими затратами.
Ежедневные потребности в пище: 1000 килокалорий, 6 унций шоколада, 10 унций сахара,8 унций жира.
Таблица содержания питательных веществ на единицу для каждого вида пищи и стоимость:
| Количество килокалорий | Количество шоколада (унции) | Количество сахара (унции) | Количество жира (унции) | Стоимость пищи за единицу | |
| Шоколадное пирожное (1 шт. или 100 грамм) | $0.50 | ||||
| Шоколадное мороженое (1 порция,100 грамм) | $0.20 | ||||
| Газированная вода (1 бутылка, 250 грамм) | $0.30 | ||||
| Ананасовый пудинг (1 кусок, 350 грамм) | $0.80 |
- x1: количество шоколадных пирожных с орехами
- x2: количество порций шоколадного мороженого
- x3: количество бутылок газированной воды
- х₄: количество кусков ананасового творожного пудинга
Согласно потребностям в этих продуктах ограничения-равенства, сведенные в систему, имеют вид:
|
|
|
400х₁ + 200х₂ + 150х₃ + 500х₄ = 1000 ⃒:50 8х₁ + 4х₂ + 3х₃ + 10х₄ = 20
3х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ = 6 3х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ = 6
2х₁ + 2х₂ + 4х₃ + 4х₄ = 10 ⃒:2 1х₁ + 1х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 5
2х₁ + 4х₂ + 1х₃ + 5х₁ = 8 2х₁ + 4х₂ + 1х₃ + 5х₁ = 8
Решаем эту систему уравнений методом Гаусса-Жордана. Для этого следует 3-е уравнение поставить на первое место и ввести матрицу. В матрице записываем все коэффициенты уравнений:
1 1 2 2 5 Из второй строчки вычитаем первую, умножив ее на 8:
8 4 3 10 20 8 4 3 10 20
3 2 0 0 6 8 8 16 16 40
2 4 1 5 8 0 -4 -13 -6 -20
Таким образом, вторая строка матрицы, умноженная на -1 будет выглядеть так:
0 4 13 6 20
Аналогично, для получения нуля в начале 3-й строки вычитаем из нее 1-ую, умноженную на 3:
3 2 0 0 6 3 строка: 0 -1 -6 -6 -9 ⃒∙(-1)
3 3 6 6 15 0 1 6 6 9
0 -1 -6 -6 -9
Из четвертой строки вычитается первая, умноженная на 2:
2 4 1 5 8
2 2 4 4 10
0 2 -3 1 -2
Матрица примет вид:
1 1 2 2 5
0 4 13 6 20
0 1 6 6 9
0 2 -3 1 -2
Аналогичным образом решаем далее до того момента, когда это будет выглядеть так:
1 1 2 2 5
0 1 6 6 9
0 0 11 18 16
0 0 0 149 31
Из четвертой строки матрицы имеем, что 149∙х₄ = 31⇒ х₄ ≈ 0,2
Из 3-й строки: 11∙х₃ + 18∙0,2 = 16 ⇒ х₃ = 1,2
Из 2-й строки: 1∙х₂ + 6∙1,2 + 6∙0,2 = 9 ⇒ х₂ = 0,6
И, наконец, из 1-й строки: 1∙х₁ + 1∙0,6 + 2∙1,2 + 2∙0,2 = 5 ⇒ х₁=1,6
Следовательно, пирожного нам нужно съесть 1,6∙100=160 грамм, мороженого 0,6∙100=60 грамм, газированной воды выпить 1,2∙250=300 грамм, а творожного пудинга съесть 0,2∙350=70 грамм.
Согласно ценам на продукты (в долларах), составим целевую функцию: F=0,5х₁ + 0,2х₂ + 0,3х₃ + 0,8х₄. Определим затраты с помощью этой формулы: F=0,5∙1,6 + 0,2∙0,6 + 0,3∙1,2 + 0,8∙0,2 = 1,88 доллара
Переведем эти деньги в рубли, умножив на приблизительный курс доллара 30 рублей: 1,88∙30 = 56,4 рубля ≈56 рублей
Вывод: для соблюдения этого рациона, а именно количества килокалорий и необходимых организму питательных веществ в день нужно съедать 160 грамм пирожного, 60 грамм мороженого, 70 грамм творожного пудинга и выпивать 300 грамм газированной воды. При этом затраты составят ≈56 рублей.
|
|
|
V. Заключение
Диета есть не что иное, как искусство управления своими потребностями, соблюдения разумного режима питания, понимания биологических ритмов своего организма, согласования своей жизни с природой. Линейное программирование в задачах о диете позволяет точно рассчитать количество продуктов, требуемых человеку для соблюдения рациона питания, а главная его функция это свести к минимуму все денежные затраты, что позволяет контролировать свой бюджет и расходы.
Каждый человек понимает, что когда придерживаешься некоторой диеты и даже целых систем питания, то это конечно будет способствовать не только оздоровлению организма, но профилактике, и даже лечению от массы заболеваний, что в наше время очень актуально.
VI. Список использованной литературы и Интернет-ресурсов:
1. Гладких Б.А., Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Часть 1.Линейное программирование. Томск,2008.
2. Вейн Л. Уинстон,Исследования Операций: Приложения и Алгоритмы, Издание четвертое, (Томсон, 2004 г.).
3. Вершик А. М., O Л. В. Канторовиче и линейном программировании.
4. Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.
5. Математика в экономике. Часть 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование, А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра.
6. Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.
7. Данциг Дж., Линейное программирование, его применения и обобщения, М., 1966.
8. Еремин И. И., Астафьев Н. Н., Введение в теорию линейного и выпуклого программирования, М., 1976.
9. Н.А.Терешин «Прикладная направленность школьного курса математики». – М.: Просвещение, 1990 г.
10. http://matmetod-popova.narod.ru
11. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/model-zadachi-lineynogo-programmirovaniya
12. http://www.ja-zdorov.ru/ kalcij
13. http://www.bio-lavka.kiev.ua
|
|
|
