Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Линейные однородные уравнения высших порядков




Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно. Линейное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид

 

 

Уравнение называется однородным, если f(x)º0, если f(x)º0,то уравнение называется неоднородным. Всякое решение линейного уравне­ния является частным, особых решений линейное уравнение не имеет.

Линейная комбинация решений однородного линейного уравнения является также решением однородного линейного уравнения. Если известно какое-либо частное решение у1(х) однородного уравнения, то подстановка у(х)=у1(х)z(х

 

приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции z(x), несодержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая z'(х) = u(х), получаем линейное однородное уравнение порядка n-1 относительно функции u(х). Однако общих методов отыскания частных решений линейных однородных уравнений с коэффициентами, зависящими от переменной х, нет.

Система функций у1(х),у2(х),...,уn(х) линейно независима на интервале (а,b), если определитель Вронского этой системы

 

W(x)=

 

 

отличен от нуля хотя бы в одной точке хÎ(а,b).

Всякая система из n линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Если известна фундаментальная система решений уравнения, то общее решение этого уравнения имеет вид

 

 

где С1, С2,...,Сn- произвольные постоянные. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения находят как сумму общего решения однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения. Если известно общее решение у00(х), то для определения частного решения можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим ЛНДУ

 

y″ + a(x)y' + a2(x)y = f(x) (3.1)

 

Его общим решением является функция

 

y = y*+ y° (3.2)

Частное решение у* уравнения (3.1) можно найти, если известно общее решение у° соответствующего однородного уравнения

 

y″ + a(x)y' + a2(x)y =0 (3.3)

 

методом ва­риации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в сле­дующем.

Пусть y° = c1y1(x) + c2y2(х) — общее решение уравнения (3.3).

Заменим в общем решении постоянные c1 и c2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

 

y* = с1(х)у1(х) + с2(х)у2(х) (3.4)

 

была решением уравнения (3.1). Найдем производную

 

(y*)' = с1´(х) у1(х) + с1(х)у1'(х) + с2'(х)у2(х + с2(х)у2'(х)

 

Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы

 

с1´(х)у1(х) + с2'(х)у2(х) = 0 (3.5)

 

 

Тогда

(y*)' = с1(х)у1'(х) + с2(х)у2'(х),

 

(y*)″ = с1´(х)у1'(х) + с1(х) у1″(х) + с2'(х)у2'(х) + с2(х)у2″(х).

 

Подставляя выражение для у*, (у*)' и (у*)" в уравнение (3.1), получим:

с1´(х)у1'(х) + с1(х) у1″(х) + с2'(х)у2'(х) + с2(х)у2″(х) +

+ a(x)[с1(х)у1'(х) + с2(х)у2'(х)] +

+ а2(x)[ с1(х)у1(х) + с2(х)у2(х)] =f(x)

или

с1(х)[ у1″(х) + a(x) у1'(х) + а2(x) у1(х)] + с2(х)[ у2″(х) + a(x) у2'(х) +

а2(x) у2(х)] + с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x).

 

Поскольку у1(х) и у2(х) — решения уравнения (3.2), то выражения в ква­дратных скобках равны нулю, а потому

 

с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x) (3.6)

 

Таким образом, функция (3..4) будет частным решением у* уравнения (3.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (3..5) и (3.6):

 

c1´(х)у1(х) + с2'(х)у2(х) = 0,

с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x) (3.7)

 

 

Определитель данной системы не равен нулю, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у1(х) и у2(х) уравнения (3.3).

Поэтому система (2.2.9) имеет единственное решение: с1´(х) = φ(x) и с2'(х) = φ2(x), где φ(x) и φ2(х) — некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с1(х) и с2(х), а затем по формуле (3.4) составляем частное решение уравнения (3.1).

Пример 1. Решить уравнение

Решени е. Соответствующее однородное уравнение будет Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни l1= -i, l2= i и общее решение однородного уравнения имеет вид:

 

 

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

 

(А)

 

где C1 (x) и C2 (x) – неизвестные функции от x. Для их нахождения составим систему:

 

 

Разрешаем эту систему относительно и :

 

 

Откуда интегрированием находим:

 

 

 

Подставляя выражения C1(x) и C2(x) в (А), получим общий интеграл данного уравнения

 

 

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...