Распределённых случайных величин
Сравнение выборочной дисперсии с известной генеральной. В некоторых случаях имеющийся большой экспериментальный материал позволяет с высокой точностью и статистической надёжностью оценить генеральную дисперсию исследуемой величины σ20. Допустим, что в связи с изменением технологии производства деталей была испытана серия образцов объёмом n, по результатам которой вычислена оценка дисперсии s 2. Требуется проверить нулевую гипотезу Н 0, заключающуюся в том, что дисперсия σ2 генеральной совокупности, из которой взята выборка, равна σ20. Рассмотрим решение этой задачи при трёх возможных альтернативных гипотезах Н А. 1) Н А: σ2 > σ20. Если для выбранного уровня значимости α выполняется неравенство
то нулевую гипотезу σ2 = σ20 не отклоняют. Если неравенство (3.3) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ2 > σ20. 2) Н А: σ2 < σ20. Если для выбранного уровня значимости α выполняется неравенство
то нулевую гипотезу σ2 = σ20 не отклоняют. Если неравенство (3.4) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ2 < σ20. 3) Н А: σ2 ≠ σ20. Если для выбранного уровня значимости α выполняются неравенства
то нулевую гипотезу σ2 = σ20 не отклоняют. Если неравенства (3.5) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ2 ≠ σ20. При использовании критериев значимости, важно, задаваясь приемлемой величиной уровня значимости α, обеспечить достаточно низкую вероятность ошибки второго рода, т.е. иметь достаточно высокую уверенность в браковке нулевой гипотезы в то время, когда верна альтернативная. Для повышения уверенности при значениях n ≥ 15 минимально необходимый объём выборки можно найти по формуле:
n = 1,5 + 0,5 где Δσ – максимальное относительное расхождение (ошибка) в средних квадратических отклонениях при принятии нулевой гипотезы, λ2 = В случае использования двустороннего критерия (3.5) n = 1,5 + 0,5 Таблица 3.2 – Минимально необходимый объём выборки n при проверке гипотезы σ2 = σ20
Пример 3.2. По результатам испытания 20 образцов произведена оценка дисперсии s 2 = 126,9. Проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией σ20 = 100 против альтернативной σ2 > σ20. Вычисляем левую часть неравенства (3.3):
Задаёмсяα = 0,05 и по таблице 2.10 находим для k = n – 1 = 19 χ20,05 = 30,1 Вычисляем правую часть соотношения (3.3)
Заключение: неравенство (3.3) выполняется, следовательно, нулевую гипотезу не бракуем. Пример 3.3. Определить минимальный объём выборки для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий с помощью двустороннего критерия (3.5), если α = 0,05; β = 0,10 и Δσ = 0,3 По таблице 2.8 находим z 1–β = z 0,9 = 1,282; z 1–α/2 = z 0,975 = 1,960. На основании формулы (3.7) определяем n = 1,5 + 0,5 Критерий равенства дисперсий двух генеральных совокупностей. Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объёмом n 1 и n 2 из нормально распределённых совокупностей подсчитаны оценки дисперсий, причём s 21 > s 22. Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, т.е. σ21 = σ22 = σ2 при альтернативной гипотезе σ21 ≠ σ22. С этой целью используют двусторонний F -критерий (критерий Фишера), для чего находят статистику
F = И сопоставляют с критическим значением F 1–α/2, представленным в 3.3 Если F = то гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, т.е. σ21 = σ22 = σ2, не отклоняют. В случае невыполнения неравенства (3.9) нулевую гипотезу отвергают. При альтернативной гипотезе σ21 > σ22 используют односторонний критерий F = если неравенство выполняется, то нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае принимают σ21 > σ22. В случае подтверждения нулевой гипотезы σ21 = σ22 = σ2 по двум выборочным дисперсиям производят новую оценку генеральной дисперсии σ2: s 2 = Пример 3.4. В результате испытаний двух партий 30 образцов и 20 образцов соответственно найдены выборочные средние значения и дисперсии предела прочности сплава. α = 0,1.
Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ21 ≠ σ22. В соответствии с соотношением (3.10) F = Для принятого уровня значимости α = 0,1; k 1 = n 1 – 1 = 29 и k 2 = n 2 – 1 = 19 по таблице 3.3 находим F 1–α/2 = F 0,95 = 2,08 и сопоставляем с вычисленным значением F = 1,15 < F 0,95 = 2,08. Заключение: дисперсии однородны.
Таблица 3.3 – Значение пяти- (верхние строки) и однопроцентных (нижние строки) верхних пределов величин F в зависимости от степени свободы k 1 = n 1 – 1 и k 2 = n 2 – 1
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|