 |
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Точка пересечения прямой и плоскости.
|
|
|
|
Извините ничего не нашла.
61. Общее уравнение прямой в Е3 . Угол между двумя прямыми в Е3 . Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?
Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.
Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.
Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.
На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Точка пересечения прямой и плоскости.
Рассмотрим прямую l с направляющим вектором а и плоскость р с нормальным вектором п. Обозначим через φ угол между прямой l и плоскостью р, а черезψ — угол между векторами а и n. Легко видеть, что φ = 90° — ψ, если ψ < 90° (рис. 209, а) и φ = ψ — 90°, если ψ > 90° (рис. 209,6).
|
|
|
В обоих случаях справедливо равенство sin φ = | cos ψ) |.
По формуле (1) § 20 находим
и, следовательно,
Если известны прямоугольные декартовы координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости a = (a 1; a 2; a 3) и n = (А; В; С), то угол φ может быть вычислен с помощью формулы
(1)
63. Поверхности второго порядка в Е3 . Цилиндрические поверхности.
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
1. Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: 
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного
эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких
плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое
число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
(2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если 
>
c (c>0), то 
и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости
z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если 
, то 
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c)
(плоскости 
касаются эллипсоида).
3) Если 
, то уравнения (2) можно представить в виде
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с
полуосями 
и 
. При уменьшении 
значения 
и 
увеличиваются и достигают своих наибольших значений при 
, т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается
самый большой эллипс с полуосями 
|
|
|
и 
.
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями,
параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как
замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются
полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными
плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
или 
(4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями 
и 
,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного
гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с
полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании
величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный
гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере
удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
3. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его
сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно
уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется
|
|
|
уравнениями
или 
(6)
из которых следует, что при 
>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При
увеличении 
величины a* и b* тоже увеличиваются.
При 
уравнениям
(6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости 
касаются данной поверхности).
При 
уравнения (6)
определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным
гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz.
Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные
относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
или 
(8)
из которых следует, что при 
плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При увеличении h
величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку
(плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8)
определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным
гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический
параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.
эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную
вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
5. Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
|
|
|
прямоугольной системе координат, определяется уравнением
(9) 
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
(10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх,
симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях
поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же
направленные вверх параболы.
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но
теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в
начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными
плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,
направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями
(10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy.
получим уравнения
или 
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие
плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 –
гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
и 
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
6. Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности
плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
и 
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две
пересекающиеся прямые
и 
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy.
Получим
или 
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с
полуосями 
.
При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку
(0;0;0).
|
|
|
