 |
Законы и формулы к выполнению задач по теме №4
|
|
|
|
1. Уравнение гармонических колебаний:
, (4.1)
где x – значение изменяющейся физической величины в момент времени t,
А – амплитуда колебания, 
– полная фаза колебания, j – начальная фаза, w – собственная круговая частота колебания.
2. Скорость при гармонических колебаниях:
. (4.2)
3. Ускорение при гармонических колебаниях:
. (4.3)
4. Собственная круговая частота колебания связана:
· с периодом колебаний Т соотношением: 
; (4.4)
· с линейной частотой ν соотношением: 
. (4.5)
5. Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание:
. (4.6)
6. Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки:
(4.7)
7. Полная энергия:
. (4.8)
8. Период колебаний математического маятника:
, (4.9)
где l – длина нити, g – ускорение свободного падения.
9. Период колебаний пружинного маятника:
, (4.10)
где m – масса тела, закрепленного на пружине; k – жесткость пружины.
10. Период колебаний физического маятника:
, (4.11)
где J – момент инерции тела относительно оси вращения, не проходящей через центр масс (центр тяжести); m – масса тела; a – расстояние от центра инерции (центра масс) до оси вращения.
11. Теорема Штейнера:
, (4.12)
где J – момент инерции тела относительно оси вращения, не проходящей через центр масс; Jc – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр тяжести.
12. Уравнение затухающих механических колебаний:
, (4.13)
где А – начальная амплитуда, Ae - dt – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t, w – частота затухающих колебаний, j – начальная фаза, d – коэффициент затухания.
13. Коэффициент затухания колебаний:
, (4.14)
где m – масса тела, r – коэффициент сопротивления.
14. Логарифмический декремент затухания:
|
|
|
, (4.15)
где An и An +1 – две соседние амплитуды колебаний одного знака.
15. Связь логарифмического декремента с коэффициентом затухания:
, (4.16)
где T – период затухающих колебаний.
Примеры решения задач по теме №4
Пример 4.1. Начальная фаза гармонического колебания φ=0. Через какое время (в долях периода) скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости.
Дано:φ=0,
.
Найти: t.
Решение.
Скорость 
точки, совершающей гармонические колебания определяется законом:
, (4.1.1)
где А – амплитуда колебания, 
– полная фаза колебания, j – начальная фаза, w – собственная круговая частота колебания. Учитывая, что φ=0 и, зная, что 
, перепишем (4.1.1):
. (4.1.2)
Скорость имеет максимальное значение при 
, т.е.:
, (4.1.3)
По условию 
, следовательно, с учетом (4.1.2), (4.1.3) имеем:
Следовательно:
.
Ответ: время, через которое скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости .
Пример 4.2. Определить период колебаний стержня длиной 60 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.
Дано: L=60см=0,6м.
Найти: T.
Решение.
Стержень, имеющий возможность совершать вращение около горизонтальной оси O, не проходящей через центр масс (центр тяжести) C, есть физический маятник (рис. 3). Для физического маятника период колебаний около неподвижной оси:
, (4.2.1)
где J – момент инерции относительно этой оси, m – масса маятника, a – расстояние от оси колебаний не проходящей через центр масс до центра тяжести (расстояние ОС). Момент инерции относительно оси О, проходящей через конец стержня, можно определить по теореме Штейнера:
, (4.2.2)
где Jc – момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, т.е. относительно оси С. Известно, что для однородного стержня, длиной l:
(4.2.3)
Подставим (4.2.3) в (4.2.2) учитывая, что a=l/2:
. (4.2.4)
Подставив (4.2.4) в (4.2.1), получим:
|
|
|
. (4.2.5)
Убедимся, что правило размерностей выполняется:
.
Подставим в (4.2.5) числовые данные:
.
Ответ: период колебаний стержня Т=1,27 с.
Задачи по теме №4
1. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармонические колебания, будет иметь смещение от положения равновесия, равное половине амплитуды? Период колебаний 24 с, начальная фаза отсутствует.
2. Спустя какую часть периода после прохождения колеблющейся точки через положение равновесия ее скорость равна 1/2 от максимальной? На каком расстоянии от положения равновесия будет находиться точка в этот момент? Амплитуда колебаний 6 см.
3. Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 с-1. Амплитуда колебаний 0,03 м. Определить скорость точки в момент, когда смещение ее равно 1,5 см.
4. Груз, подвешенный к пружине, колеблется с амплитудой 2 см. Жесткость пружины 10 кН/м. Чему равна максимальная кинетическая энергия груза?
5. За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а другой 30 колебаний. Найти их длины, если один из маятников на 32 см короче другого.
6. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличения амплитуды колебаний в 2 раза?
7. Однородный круглый диск радиусом 40 см подвешен за край. Определить частоту его малых колебаний относительно точки подвеса.
8. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 50 см. Определить на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы период колебаний был равен 4с.
9. Обруч диаметром 60 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний этого обруча.
10. Однородный шар подвешен на невесомой нити, длина которой равна радиусу шара. Определить длину нити, если период колебаний этого маятника 4 с.
11. Период затухающих колебаний 4 c, логарифмический декремент затухания 1,6. Начальная фаза равна нулю. В момент времени, равный четверти периода, смещение материальной точки 4,5 см. Написать уравнение этих затухающих колебаний.
12. Уравнение затухающих колебаний x=5e-0.25tsin(πt/2) м. Найти скорость этих колебаний в начальный момент времени и в момент времени, равный периоду колебаний.
|
|
|
13. За время 4 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в 1,5 раза. Определить коэффициент затухания.
14. За одну минуту амплитуда колебаний математического маятника уменьшилась вдвое. Найти логарифмический декремент затухания, если длина маятника 1 м.
15. Математический маятник совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,01.
16. Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?
17. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда этих колебаний за 3 мин?
18. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 5 мин уменьшилась в 2 раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в 8 раз?
19. Амплитуда колебаний математического маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания.
20. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника 0,003. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в 2 раза?
ТЕМА №5. ОПТИКА
|
|
|
