Проверка статистических гипотез

Основные понятия и формулы
Алгоритм проверки статистических гипотез
1. По выборочным данным формулируют основную Н0 и альтернативную Н1 гипотезы. 2. Задают уровень значимости α (0,05 или 0,01). 3. В зависимости от Н0 определяют статистический критерий K, имеющий известное распределение. 4. По выборке и формуле критерия K рассчитывают наблюдаемое значение критерия Kнабл. 5. В зависимости от вида Н1 определяют вид критической области W и критические точки по таблице Приложения для распределения критерия K. 6. По результатам проверки: Kнабл W? - делают вывод о принятии или отклонении гипотезы Н0. 7. Формулируют общий вывод исходя из поставленной задачи.
Проверка гипотез о равенстве числовому параметру
· дисперсии · математического ожидания · вероятности	р = р0
Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик
· дисперсий · математических ожиданий · вероятностей	D(Х) = D(Y) М(Х) = М(Y) рx = рy
Проверка гипотез о законе распределения
· критерий согласия Пирсона · критерий согласия Колмогорова
Проверка гипотез об однородности выборок
· критерий Колмогорова-Смирнова · критерий Вилкоксона	ранговый
Основные умения и навыки: · формулировать статистические гипотезы · оценивать вероятности ошибок принятия гипотезы · проверять статистические гипотезы согласно алгоритму · делать выводы по результатам статистической проверки · использовать возможности Exel для проверки гипотез

Основные этапы проверки

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений). Как правило, статистическая гипотеза – это предположение о значении параметров закона распределения (параметрическая) или его виде (непараметрическая).

Не располагая сведениями о всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют, по определенным правилам, с выборочными данными и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Процедура сопоставления высказанной гипотезы с выборкой называется проверкой гипотезы. Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.

Этап 1. Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают Н₀. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную (или конкурирующую) гипотезу Н₁, являющуюся логическим отрицанием Н₀. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. По выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности либо гипотезы Н₀, либо гипотезы Н₁.

Этап 2. Задаются вероятностью α, которую называют уровнем значимости. Введем ее смысловое значение. Решение о том, можно ли считать высказывание Н₀ справедливым для генеральной совокупности, принимается по выборочным данным (т.е. по ограниченному ряду наблюдений), следовательно, это решение может быть как правильным, так и ошибочным.

При проверке любой статистической гипотезы возможны варианты:

· гипотеза Н₀ верна и ее принимают (правильное решение);

· гипотеза Н₀ не верна и ее отвергают, принимая гипотезу Н₁ (правильное решение);

· гипотеза Н₀ верна, но ее отвергают согласно правилу проверки (неправильное решение) - это ошибка первого рода;

· гипотеза Н₀ не верна, но ее принимают согласно правилу проверки (неправильное решение) – это ошибка второго рода.

Уровень значимости α – это вероятность ошибки первого рода, т.е. вероятность того, что будет принята гипотеза Н₁, если на самом деле для генеральной совокупности верна гипотеза Н₀. Вероятность α задается заранее малым числом, поскольку это вероятность ошибочного заключения, при этом обычно используют некоторые стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки второго рода обозначают β – это вероятность того, что будет принята гипотеза Н₀, если на самом деле верна гипотеза Н₁. Вероятность не совершить ошибку второго рода (1 – β), т. е. вероятность правильного отклонения неверной нулевой гипотезы, называют мощностью критерия.

Ошибки взаимосвязаны: с уменьшением ошибки α первого рода возрастает вероятность ошибки β второго рода и наоборот.
Рис. 1. Взаимосвязь ошибок первого и второго рода.

Этап 3. Определяют величину специально составленной выборочной характеристики – статистического критерия. В общем случае статистическим критерием называют однозначно определенное правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу Н₀ следует либо отвергнуть, либо принять. Основу критерия составляет специально составленная выборочная характеристика K = f(x₁, …, x_n) точное или приближенное распределение которой известно.

Этап 4. В формулу критерия K = f(x₁, …, x_n) вместо (x₁, …, x_n) подставляют конкретные числа, полученные в результате наблюдений, и подсчитывают числовое значение критерия. Значение критерия, вычисленное по выборке, называют наблюдаемым значением K_набл.

Этап 5. Далее рассуждают так. Так как. значения критерия позволяют судить о расхождении выборки с нулевой гипотезой, то из области допустимых значений критерия K следует выделить подобласть W таких значений, которые свидетельствовали бы о существенном расхождении данных с гипотезой Н₀. Подобласть W называют критической областью.

Критическая область выбирается так, чтобы вероятность попадания в нее была минимальной (равной α), если верна нулевая гипотеза Н₀, и максимальной в противоположном случае.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы и распределения критерия выбирают вид расположения критической области: правосторонняя, левосторонняя или двусторонняя. Границы (критические точки) при заданном уровне значимости находят из соотношений для критических областей:

· правосторонней: P(K > K_кр) = α;

· левосторонней: P(K < K_кр) = α;

· двусторонней: P(K < K_кр) = α /2 и P(K > K_кр) = α /2.

Этап 6. Проводят проверку: принадлежит ли наблюдаемое значение критерия критической области.

Если Kнабл попадает в критическую область W, то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1 (на рис. 2 двусторонняя критическая область W показана желтым цветом). Если Kнабл не попадает в критическую область, гипотеза Н0 не отвергается (принимается).
Рис. 2. Основной принцип проверки статистических гипотез

Если гипотеза Н₀ принимается, это вовсе не означает, что Н₀ является единственно подходящей гипотезой: просто расхождение между выборочными данными и нулевой гипотезой невелико, т. е. Н₀ не противоречит результатам наблюдений.

Этап 7. Формулируют общий вывод исходя из поставленной задачи.

Таблица 1. Критические области и критические точки распределений

Распределение	Критические области и критические точки
левосторонняя	двусторонняя	правосторонняя
z или u Стандартное нормальное		икр = - иправ. кр	Ф(uкр) = (1–α)/2	Ф(uкр) = (1–2α)/2
Приложение 2
t Стьюдента		tкр = - tправ. кр	tдв. кр (α; k)	tкр (α; k)
k = n – 1, Приложение 6
Пирсона			;
k = n – 1, Приложение 5
F Фишера			Fправ. кр (α/2; k1; k2);	Fкр (α; k1; k2)
k1 = nx – 1, k2 = ny – 1, Приложение 7