 |
Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей
|
|
|
|
Равенство дисперсий. Пусть имеются две случайные величины, имеющие нормальный закон распределения, причем числовые значения параметров неизвестны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочные исправленные дисперсии, оценивающие неизвестные дисперсии. После определения исправленных дисперсий две случайные величины именуют: случайную величину с большей исправленной дисперсией называют Х, а с меньшей – Y.
В основу проверки данной гипотезы положен критерий, который при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение) с числом степеней свободы kx = nx – 1 и ky = ny - 1. Границы критической области определяют по соответствующему Приложению 7 (таблица Фишера или расширенная таблица Фишера-Снедекора).
В Exel в Пакете анализа присутствует Двухвыборочный F-тест для дисперсии. Здесь проверка всегда односторонняя. Если в графе P(F<=f) односторонняя указана величина, меньшая выбранного Альфа, то основная гипотеза Н0 отклоняется на уровне значимости α.
Пример 5. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на первом станке, и 9 деталей - на втором станке и исправленные дисперсии соответственно составили 5мм2 и 7 мм2. Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата имеют одинаковую точность.
Предварительно именуем выборки: с большей дисперсией – X, с меньшей – Y: 
, следовательно, 
и 
.
1. Принимаем 
и 
.
2. Назначаем 
.
3. Критерий 
, имеющий распределение Фишера ( 
- распределение) с числом степеней свободы 
и 
.
|
|
|
4. 
.
5. Согласно гипотезе 
критическая область W – правосторонняя:
(по Приложению 7).
6. Т.к. 
нулевая гипотеза принимается при уровне значимости 0,05.
7. Вывод: Станки-автоматы имеют одинаковую точность.
Равенство математических ожиданий (дисперсии известны). Пусть Х и Y – случайные величины, имеющие нормальный закон распределения 
, 
, причем числовые значения математического ожидания неизвестны, а числовые значения дисперсии известны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее арифметическое (соответственно 
и 
), которое дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания.
В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных и по значению которой можно судить о близости выборочных средних арифметических двух распределений: 
. Выбранный критерий при выполнении нулевой гипотезы 
подчиняется стандартному нормальному закону распределения Z 
.
Пример 6. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата: X и Y. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения с дисперсией 5 
для станка X и 7 для станка Y. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на станке X, и 9 деталей - на станке Y. Средние диаметры валиков соответственно составили: для автомата X – 182 мм, для Y – 185 мм. Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата настроены на один размер.
1. Принимаем 
и 
.
2. Назначаем 
.
3. Критерий: 
, 
4. 
5. Согласно гипотезе критическая область W – левосторонняя:
и по Приложению 2 
и 
.
6. Т.к. 
нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 0,01.
7. Вывод: различие выборочных средних неслучайно и станки не настроены на один размер.
Равенство математических ожиданий (дисперсии неизвестны). Пусть Х и Y – случайные величины, имеющие нормальный закон распределения , , причем числовые значения математического ожидания и дисперсии неизвестны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее арифметическое (соответственно и ), которое дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания, а также выборочную исправленную дисперсию, оценивающую неизвестную дисперсию (
).
|
|
|
Применяемый в данном случае критерий Стьюдента предполагает равенство неизвестных дисперсий. Поэтому на предварительном этапе необходимо убедиться в этом предположении. В основу проверки данной гипотезы положен критерий:
который при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k = nx + ny – 2.
Пример 7. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на первом станке, и 9 деталей - на втором станке. Средние диаметры валиков составили: для первого автомата – 182 мм, для второго – 185 мм, а выборочные исправленные дисперсии соответственно 5 и 7 . Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата настроены на один размер.
На предварительном этапе именуем выборки: с большей дисперсией – X, с меньшей – Y: 
, следовательно, 
и 
.
1. Принимаем и .
2. Назначаем 
.
Дополнительно проверяем условие равенства дисперсий - 
.
3. Критерий: 
, имеющий распределение Стьюдента с числом степеней свободы 
.
4. 
.
5. Согласно гипотезе критическая область W – левосторонняя:
по Приложению 6 находим одностороннюю критическую точку 
; 
.
6. Т.к. 
нулевая гипотеза не противоречит опытным данным и принимается при уровне значимости 0,05.
7. Вывод: Различие выборочных средних случайно и станки настроены на один размер.
Exel позволяет провести испытание гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с случае равенства неизвестных генеральных дисперсий: Анализ данных и Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями. В графах P(T<=t) дано значение уровня значимости для односторонней и двусторонней проверок. Если это значение меньше заданного Альфа, то основная гипотеза отвергается. Если условие равенства неизвестных генеральных дисперсий не выполняется, следует выбирать Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями.
|
|
|
Таблица 2. Проверка гипотез о равенстве числовому параметру
| Гипотеза | Н0 | Критерий | Примечание |
Равенство дисперсий
| D(Х) = D(Y) | 
| - |
|
Равенство математических ожиданий
|
М(Х) = М(Y) 
| 
| Дисперсии (генеральные) известны |
| Дисперсии (генеральные) неизвестны, но равны (предварительно проверить Н0: D(X)=D(Y)) | ||
| Дисперсии (генеральные) неизвестны и неравны | ||
| Равенство вероятностей | рx = рy | 
|
|
Равенство вероятностей. На практике часто встречается задача сравнения долей признака (вероятностей) в двух совокупностях. Например, если выборочная доля признака в одной совокупности отличается от такой же доли в другой совокупности, то можно ли считать, что наличие признака в одной совокупности действительно вероятнее, или полученное расхождение является случайным? Для проверки гипотезы из двух генеральных совокупностей составляют выборки достаточно большого объема (n > 30) и по ним определяют выборочные доли (частости), которые являются точечными оценками неизвестных генеральных долей: 
и 
. В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных и по значению которой можно судить о близости выборочных долей двух распределений:
. Выбранный критерий при выполнении нулевой гипотезы подчиняется стандартному нормальному закону распределения Z . Выборочная доля объединенной выборки определяется по формуле: 
.
Пример 8. В результате выборочной проверки качества однотипных изделий оказалось, что из 300 изделий фирмы А бракованных – 30, а из 400 фирмы В – 52 изделия. Можно ли считать, что различия в качестве изделий различных фирм существенны?
1. Принимаем 
и 
.
2. Назначаем .
3. Критерий: 
4. 
и 
.
5. Согласно гипотезе 
критическая область W – левосторонняя:
|
|
|
и по Приложению 2 
; 
.
6. Т.к. 
нулевая гипотеза не противоречит опытным данным и принимается при уровне значимости 0,05.
7. Вывод: различия в качестве изделий фирм А и В несущественны (случайны).
|
|
|
