 |
Проверка гипотез о равенстве числовому параметру
|
|
|
|
Равенство дисперсии числовому параметру. Пусть Х – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения 
, причем числовое значение дисперсии неизвестно. Дать точный ответ на вопрос, каково числовое значение неизвестного параметра, можно обследовав всю генеральную совокупность, что сделать, как правило, нельзя.
В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочную исправленную дисперсию, которая дает приближенное представление о числовом значении дисперсии. В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных и по значению которой можно судить о близости исправленной дисперсии к предполагаемому значению 
. Критерий при выполнении нулевой гипотезыподчиняется распределению Пирсона (
- распределение) с числом степеней свободы k = n – 1. Границы критической области для n < 30 определяют по Приложению 5, а для n > 30 – по Приложению 2.
Пример 1. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,15 мкм. Выборочному контролю было подвергнуто 25 изделий и по результатам определена исправленная дисперсия 0,25 мкм2. Предполагается, что размер изделия – нормально распределенная случайная величина. Проверить гипотезу, что станок обеспечивает требуемую точность.
1. Принимаем Н0: 
и Н1: 
.
2. Назначаем 
.
3. Критерий: 
, имеющий распределение Пирсона с числом степеней свободы k=n –1=25–1=24.
4. 
.
5. Согласно гипотезе 
критическая область W – правосторонняя:
(по Приложению 5).
6. Т.к. 
нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 0,05.
7. Вывод: Станок не обеспечивает требуемой точности.
Равенство математического ожидания числовому параметру (дисперсия известна). Пусть Х – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения 
, причем числовое значение математического ожидания 
неизвестно, а числовое значение дисперсии 
известно (из теоретических соображений или специального исследования при большом числе измерений).
|
|
|
Дать точный ответ на вопрос, каково числовое значение неизвестного параметра, можно обследовав всю генеральную совокупность, что сделать, как правило, нельзя. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее арифметическое, которое дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания. Далее действуем согласно этапам проверки статистических гипотез.
Пример 2. Темп роста производительности в отрасли прогнозировался на уровне 2,8%. По результатам анализа производительности 10 машиностроительных предприятий было установлено, что средний темп роста составил 
. Предполагается, что темп роста есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с 
Проверить гипотезу, что темп роста производительности в отрасли вышел на прогнозируемый уровень.
1. Принимаем 
и 
.
2. Назначаем 
.
3. Критерий: 
4. 
5. Согласно гипотезе 
критическая область W – двусторонняя:
a. 
и по Приложению 2 
;
b. 
и 
.
6. Т.к. 
нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 0,05.
7. Вывод: Темп роста производительности в отрасли не вышел на прогнозируемый уровень 2,8%.
Равенство математического ожидания числовому параметру (дисперсия неизвестна). Это другой случай. Пусть Х – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения , причем числовое значение, как математического ожидания 
, так и дисперсии 
неизвестно. В этом случае по данным наблюдений вычисляют среднее арифметическое и исправленную дисперсию 
. Полученные оценки дают приближенное представление о неизвестных параметрах нормального распределения (соответственно 
и ) и помогают сформулировать гипотезы.
|
|
|
В этом случае по выборке находят только оценку неизвестной дисперсии, а сама генеральная дисперсия НЕ ИЗВЕСТНА. Поэтому в качестве критерия используется Т-критерий, имеющий распределение Стьюдента и ориентированный на малые выборки.
Пример 3. Темп роста производительности в отрасли прогнозировался на уровне 2,6%. Предполагается, что темп роста есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. По результатам анализа производительности 10 машиностроительных предприятий было установлено, что средний темп роста составил , а исправленное среднее квадратическое отклонение – 0,4%. Проверить гипотезу, что темп роста производительности в отрасли вышел на прогнозируемый уровень.
1. Принимаем 
и 
.
2. Назначаем 
.
3. Критерий: 
имеющий распределение Стьюдента (t - распределение) с числом степеней свободы k = n – 1 = 10 – 1 = 9. 
4. 
.
5. Согласно гипотезе 
критическая область W – левосторонняя:
по Приложению 6 находим одностороннюю критическую точку
; 
.
6. Т.к. 
нулевая гипотеза не противоречит опытным данным и принимается при уровне значимости 0,05.
7. Вывод: темп роста производительности в отрасли вышел на прогнозируемый уровень 2,6%.
Равенство вероятности числовому параметру. Пусть А – случайное событие, вероятность р появления которого в единичном испытании неизвестна. Выдвинем гипотезу о равенстве р числовому параметру р0. В основе проверки этой гипотезы лежит сравнение числа р0 с приближенным значением вероятности, найденным по экспериментальным данным. Таким приближенным значением является статистическая вероятность или частость события: w = m / n. Далее действуем согласно этапам проверки статистических гипотез.
Пример 4. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 2%. Среди случайно отобранных 1000 изделий оказалось 40 бракованных. Можно ли при уровне значимости 0,01 принять партию изделий?
1. Принимаем 
и 
.
2. Назначаем .
3. Критерий: 
4. 
5. Согласно гипотезе 
критическая область W – правосторонняя:
и по Приложению 2 
;
6. Т.к. 
нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 0,05.
|
|
|
7. Вывод: Партию изделий принять нельзя.
Таблица 2. Проверка гипотез о равенстве числовому параметру
| Гипотеза | Н0 | Критерий | Примечание |
Равенство дисперсии
числовому параметру
|
|
| при k > 30 
|
| Равенство математического ожидания числовому параметру
|
| 
| Дисперсия (генеральная) известна |
| Дисперсия (генеральная) неизвестна | ||
| Равенство вероятности числовому параметру | р = р0 | 
| - |
|
|
|
