Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Математические модель электрогидроусилителя

Построение математической модели рассмотрим на примере электрогидравлического усилителя, схема которого приведена на рис. 8.4. Электрогидравлический усилитель с золотником, нагруженным пружинами, состоит из электромеханического преобразователя (ЭМП) и гидроусилителя (ГУ), имеющего усилительную ступень в виде сопла-заслонки и управляющую ступень в виде золотникового распределителя. Гидроусилитель состоит из золотника 1, пружин, нерегулируемых дросселей 3, заслонки 4 и сопел.

Электрогидравлический усилитель работает следующим образом. При подаче напряжения на ЭМП в обмотке управления возникает ток, и якорь ЭМП вместе с заслонкой 4 отклоняется от нейтрального положения. Отклонение заслонки 4 от нейтрального положения вызывает изменение расходов через сопла и перепад давлений в полостях А и Б, необходимый для управления золотником 1.

Для обеспечения пропорциональной зависимости перемещений золотника от перемещений заслонки применены пружины 2. Усилие этих пружин при смещении золотника от нейтрального положения уравновешивают силы давлений, приложенные к нему со стороны жидкости в полостях А и Б.

x _З

p _П

p _СЛ

p ₁

p ₂

Рис. 8.4. ЭГУ с золотником, нагруженным пружинами

Описание динамики электрогидроусилителя с золотником, нагруженным пружинами, с учетом массы золотника, силы трения и сжимаемости жидкости выполним при малых отклонениях заслонки от нейтрального положения. За входное воздействие примем отклонение заслонки от нейтрального положения, а за выходную величину, т. е. регулируемую, – перемещение золотника.

Математическое описание начнём с процессов, происходящих в электромеханическом преобразователе. Уравнение вращения якоря запишем в виде

, (8.10)

где М _Я – момент электромагнитных сил, поворачивающих якорь; М _С – момент сопротивления, обусловленный силами трения и электромагнитными силами сопротивления, вызванными встречной ЭДС в обмотке управления ЭМП; М _Н – момент сил, действующих на заслонку и представляющих нагрузку на якорь; J _Я – момент инерции якоря вместе с заслонкой; φ_Я – угол отклонения якоря от среднего положения.

Внешнюю моментную характеристику электромеханического преобразователя будем использовать в виде линейной зависимости момента М _Я, развиваемого якорем от тока управления i _У и угла φ_Я поворота якоря:

, (8.11)

где – коэффициенты внешней моментной характеристики ЭМП.

Момент сопротивления М _С, возникающий при вращении якоря, будем определять по формуле

, (8.12)

где К _С – коэффициент сопротивления, обычно определяется экспериментально.

Так как заслонка жестко связана с якорем и имеет возможность поворачиваться вокруг оси совместно с ним, то гидродинамическую силу, приложенную к заслонке, нужно учесть при составлении уравнения вращения якоря.

Момент нагрузки М _Н определяется гидродинамической силой F _ГД1, обусловленной воздействием на заслонку струй жидкости, истекающих из сопел:

, (8.13)

где l – расстояние от центра вращения якоря вместе с заслонкой до оси сопел.

Гидродинамическую силу, действующую со стороны потока рабочей жидкости на заслонку, можно определить по формуле

, (8.14)

где χ_С – коэффициент, равный 1,03–1,06 для сопел с острыми кромками; – площадь проходного сечения сопла (здесь d _C – диаметр сопла); p _y – разность давлений в полостях А и Б ().

После подстановки моментов из формул (8.11)–(8.13) в уравнение (8.10) с учетом соотношения (8.14) получим

. (8.15)

Уравнение (8.15) описывает процессы, происходящие в ЭМП. Для электромеханического преобразователя входной величиной является ток i _У, подаваемый на обмотки управления, а выходной – угол φ_Я поворота якоря. Приведем уравнение к форме “вход-выход”, т. е. в левую часть перенесем члены, содержащие выходную величину φ_Я, а в правую – входную i _У, в результате получим

. (8.16)

В правой части уравнения (8.16) член, содержащий p _У, представляет обратную связь, обусловленную действием гидродинамической силы, стремящейся вернуть заслонку с якорем в нейтральное положение.

Разделив все члены уравнения (8.16) на К _М.φ, получим его стандартную форму:

, (8.17)

где Т _Я – постоянная якоря; ζ_Я – коэффициент относительного демпфирования якоря; K φ .i – коэффициент преобразования тока i _У управления в угол φ_я поворота якоря; К _φ. _p – коэффициент преобразования разности давления p _y в угол φ_я поворота. Постоянная времени якоря и коэффициенты преобразования определяются по соотношениям:

, (8.18)

, (8.19)

, (8.20)

. (8.21)

Теперь составим математическое описание гидроусилителя. Зависимость расхода жидкости Q _у, обеспечивающего перемещение золотника, от отклонения h _у заслонки от нейтрального положения и разности давлений p _у в полостях А и Б примем линейной:

, (8.22)

где К_Q_._h и К_Q_._p – коэффициенты расхода, можно определить экспериментально.

С другой стороны, расход связан с перемещением золотника:

, (8.23)

где – площадь торца золотника; d _З – диаметр золотника; x _З – перемещение золотника; V _У – объем каждой из полостей А и Б; B _Ж – модуль объемной упругости жидкости. Второе слагаемое в правой части уравнения (8.23) учитывает изменение объема жидкости, обусловленное её сжимаемостью.

Отклонение заслонки h _У от нейтрального положения связано с углом φ_Я поворота якоря, при малых отклонениях заслонки можно записать

. (8.24)

Уравнения (8.22)–(8.24) можно заменить одним уравнением в форме “вход-выход”; приняв за входную величину φ_Я, а за выходную – p _у, получим

. (8.25)

Разделив все члены уравнения (8.25) на К_Q_._p, получим его стандартную форму:

, (8.26)

где Т _ГУ1 и Т _ГУ2 – постоянные времени гидроусилителя; К _φ. _h – коэффициент преобразования перемещения h_y заслонки в разность давлений p _У. Постоянные времени гидроусилителя и коэффициент преобразования определяются по соотношениям:

, (8.27)

, (8.28)

. (8.29)

Уравнение движения золотника под действием разности давлений в полостях А и Б () можно записать в виде

, (8.30)

где F _ГД2 – гидродинамическая сила, действующая на золотник со стороны жидкости, протекающей через распределитель; F _ТР – сила трения; F _ПР – сила, действующая на торцы золотника со стороны пружин; m _З – масса золотника.

Гидродинамическую силу F _ГД2 будем считать линейной зависимостью от смещения золотника и определять по формуле

, (8.31)

где – коэффициент жесткости гидродинамической пружины (гидродинамическая сила имеет линейную зависимость аналогично силе пружины отсюда и название коэффициента).

Силу трения будем считать вызванной жидкостным трением и определять по формуле

, (8.32)

где k _ТР – коэффициент трения.

Силу от действия пружин на торцы золотника будем определять по формуле

, (8.33)

где с _ПР – жесткость каждой из пружин.

Подставив в уравнение (8.29) выражения для сил, определяемых соотношениями (8.30)–(8.32), и преобразовав его к форме “вход-выход”, получим:

. (8.34)

Разделив все члены уравнения (8.34) на коэффициент при выходной величине x _З, получим:

, (8.35)

где Т _ГУ3 – постоянная времени гидроусилителя;ζ_ГУ – коэффициент относительного демпфирования гидроусилителя; К _φ. _p – коэффициент преобразования разности давления p _у в перемещение золотника x _З.

Постоянная времени гидроусилителя, коэффициент относительного демпфирования и коэффициент преобразования определяются по соотношениям:

, (8.36)

, (8.37)

. (8.38)

Уравнения (8.17), (8.26) и (8.35) с учетом соотношений (8.18)–(8.21), (8.27)–(8.29) и (8.36)–(8.38) составляют математическую модель электрогидравлического усилителя.

При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью ЭВМ и пакетов прикладных программ, основанные на численных методах математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.

Дифференциальное уравнение (8.17) второго порядка заменим системой двух уравнений первого порядка

, (8.39)