Сильные и слабые стороны бытовой математики

Сравнение математических способностей уличных торговцев в различных ситуа­циях показывает, что, правильно решая математические задачи в процессе своей работы, они не справляются с ними в школьной или похожей на школьную обста­новке. Т. Каррахер, Каррахер и Шлиманн (Т. N. Carraher, Carraher & Schliemann, 1987) считают, что различия в выполнении задач в разных ситуациях можно объяс­нить использованием разных процедур. На работе или в рабочей ситуации пред­почтительной является методика устного счета, которая часто ведет к получению правильного ответа. В школе и в обстановке, подобной школьной, предпочитают­ся письменные операции, которые часто ведут к неправильному результату. Эти Данные говорят о том, что качество и результативность математического мышле­ния связаны с природой используемых представлений.

Очевидно, что уличные торговцы развили у себя базовые логические способно­сти, необходимые для.решения арифметических задач в процессе работы; пробле-

мы со школьной арифметикой, по-видимому, связаны с владением особой симво­лической системой, принятой в школах. Школьный алгоритм, уделяя первоочеред­ное внимание фиксированным операциям с числами при решении любой задачи, забывает о цели. Устные же методы счета, напротив, в процессе решения задач ори­ентированы на цель, что позволяет избежать бессмысленных ошибок.

Анализ общих характеристик математического знания, сформированного в об­становке повседневной жизни, последовательно свидетельствует о том, что цель и смысл являются наиболее важными и насущными моментами при решении повсе­дневных задач. Более того, методы повседневных расчетов могут быть достаточно гибкими и восприниматься как составная часть общей логико-математической структуры, пригодной для решения задач в различных ситуациях, как было показа­но Шлиманном и Нунесом (Schliemann & Nunes, 1990) в исследовании вычислений рыбаков в северо-восточной Бразилии. Шлиманн и его коллеги (Schliemann & Magalhaes, 1990; см. также Schliemann & Carraher, 1992) приводят дополнительные свидетельства применимости повседневных методик для решения задач на пропор­циональность, которые были получены при исследовании поварих, участвовавших в программе обучения взрослых чтению и письму.

По-видимому, бытовое знание имеет достаточно общий характер, чтобы позво­лить решать совершенно новые задачи с помощью стратегий, выработанных в конк­ретных повседневных ситуациях. И все же встает вопрос о границах повседневной математики, особенно если сравнить, насколько шире диапазон математических задач, решаемых в школе, по сравнению с кругом математических проблем в быту. Было бы заблуждением полагать, что повседневное математическое знание может в каком бы то ни было отношении конкурировать с профессиональным подходом к математике. Принимая во внимание имеющиеся данные исследований, мы должны признать ограниченность бытовой математики. Судя по всему, одни и те же куль­турные и социальные условия и способствуют формированию математического зна­ния у детей и взрослых, и фактически сдерживают и ограничивают его, когда оно достигает определенного уровня. Знание переместительного закона умножения яв­ляется хорошим тому примером. Петитто и Гинзбург (Petitto & Ginsburg, 1982) обна­ружили, что необразованные портные и торговцы тканями народности диоула в Ли­берии решают задачу, требующую 100 умножить на 6, шесть раз складывая 100, не понимая, что тот же самый результат они получат в результате умножения 6 на 100. Шлиманн с коллегами (Schliemann, Araujo, Cassunde, Macedo & Niceas, 1994) получи­ли подобные данные, исследуя в Бразилии молодых уличных торговцев, не имею­щих достаточного уровня образования. Испытуемые производили расчет цены мно­жества предметов, зная цену одного из них, повторяя операцию сложения в соответ­ствии с количеством единиц товара. Когда использование переместительного закона давало возможность упростить процесс вычислений (например, нужно вычислить цену 50 единиц товара стоимостью по 3 доллара за штуку), они не понимали, что можно получить общую сумму, складывая количество единиц товара столько раз, сколько денежных единиц в цене товара. Более того, по сравнению со школьниками, которых обучали умножению, уличные торговцы признавали возможность исполь­зования переместительного закона при умножении лишь в более старшем возрасте.

Другой недостаток связан с использованием скалярного, а не функционального подхода при решении задач на пропорциональное соотношение. Уличные торговцы при необходимости вычислить цену заданного количества единиц товара при извест­ной цене нескольких единиц, используют метод, который Верно (Vergnaud, 1988) назвал скалярным подходом к решению задач на пропорциональность, требующим вычисления отсутствующего значения. При таком подходе каждая из переменных понимается как независимая от другой, и с обеими переменными производятся параллельные преобразования, в процессе которых сохраняется соотношение меж­ду ними. При функциональном подходе, который проходят в школе, первоочеред­ное внимание уделяется коэффициенту соотношения двух исходных значений двух переменных, который затем используется применительно к результирующей паре, в результате чего вычисляется недостающее значение. Использование ис­ключительно скалярного подхода может создать определенные проблемы для уличных торговцев при решении задач, в которых соотношение между ценой и количеством предметов (функциональное соотношение) вычислить проще, чем соотношение между исходной и искомой величиной (скалярное соотношение). В то время как школьники чаще используют функциональное соотношение, улич­ные торговцы продолжают пользоваться скалярным методом, даже когда он тре­бует громоздких вычислений (Schliemann & Carraher, 1992).

Изучение отрицательных чисел, которым занималась Т. Каррахер (Carraher, 1990), также говорит об ограниченности повседневных решений математических задач. Она обнаружила, что на основе своего повседневного опыта работы с день­гами как образованные, так и не имеющие образования испытуемые способны справиться задачами, требующими сложения относительных чисел, маркируя от­рицательные числа как убытки или долги. Тем не менее когда испытуемых проси­ли ввести письменное обозначение, это представляло для них определенные про­блемы из-за несоответствия их повседневной практики школьной процедуре об­ращения с относительными числами,

С учетом сильных и слабых сторон бытовой математики, естественным обра­зом встает вопрос о ее значимости для математического образования. Более под­робно мы попытались ответить на этот вопрос в другом месте (D. W. Carraher & Schliemann, в печати). В следующем разделе мы представляем краткое изложение своего видения проблемы.