 |
Дискретное преобразование Фурье.
|
|
|
|
Основой цифрового спектрального анализа сигнала является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Оно переводит из временной области в частотную. Ценность – разработаы быстрые алгоритмы.
Пусть 
– непрерывная периодическая функция времени с периодом 
: 
, 
.
Ее можно разложить в ряд Фурье или представить через спектр, ряд которого содержит гармонические составляющие с периодами , 
, 
и т.д.: 
.
Опр. 
называется базисом преобразования или спектральными компонентами преобразования.
При дискретизировании мы получаем тоже периодическую функцию: 
с разложением 
. Теперь оставим лишь 
базисных функций 
. Тогда получим дискретный спектр следующего вида: 
.
Опр. Преобразование называется дискретным преобразованием Фурье.
Теперь домножим обе части этого уравнения на 
и просуммируем по 
от 
до 
:
. При 
. Откуда 
.
Опр. 
называется прямым ДПФ.
Опр. 
называется обратным ДПФ.
Необходимо помнить, что последовательности 
и 
являются периодическими с периодом :
Поскольку при вычислении ДПФ и ОДПФ используются значения только одного периода, то можно все вышесказанное применить и к последовательности, определенной на 
, которую, однако, надо продолжать периодически.
Связь ДПФ с непрерывным спектром и Z-преобразованием
Пусть 
– последовательность конечной длины, 
. Вычислим ее 
-преобразование:
. Вспомним, чему равно ее ДПФ: 
. Видно, что ДПФ совпадает с -преобразованием, взятым в точке 
. 
По ДПФ можно определить -преобразование: 
.
Как известно, спектр последовательности есть ее -преобразование при 
: 
, 
То есть коэффициенты ДПФ – это отсчеты непрерывного спектра, равномерно взятые на интервале 
:
Для обратного перехода от ДПФ к спектру достаточно подставить в формулу для перехода от ДПФ к -преобразованию 
вместо .
|
|
|
Использование ДПФ для вычисления отсчетов непрерывного спектра
Пусть – последовательность конечной длины, . Нужно определить 
отсчетов ее непрерывного спектра 
, равномерно распределенных на интервале .
. 
, 
– точек. 
. Рассмотрим 
. Определим -точечное ДПФ новой последовательности:
. 
.
Таким образом, дополнение последовательности конечной длины нулями позволяет получить сколь угодно большое число отсчетов ее непрерывного спектра при помощи ДПФ.
Проиллюстрируем сказанное:
Использование ДПФ для вычисления последовательности по ее спектру
Процедура перехода от непрерывных сигнала к его отсчетам называется дискретизацией. Она влияет на форму полученной последовательности.
Пусть – произвольная последовательность. 
. Пусть -преобразование сходится на единичной окружности : 
.
Хотим перейти от спектра к исходной последовательности. Вспомним дискретизацию спектра, выберем равномерно расположенных отсчетов 
, где .
(*)
Рассмотрим сумму 
. Тогда (*) будет равно 
.
Периодическая последовательность, полученная при помощи ОДПФ из дискретизированного спектра непериодической последовательности состоит из бесконечной суммы сдвинутых копий исходной непериодической последовательности.
Если последовательность конечна и ее длина превышает , то возникает эффект наложения.
Основные свойства ДПФ
Свойство 1. Линейность
, 
, 
Свойство 2. Периодичность
, 
Свойство 3. Свойство сдвига
Если – периодическая с периодом и ее ДПФ , то ДПФ последовательности 
имеет вид 
Свойство 4. Циклическая свертка последовательностей
и 
– периодические с периодом . Им соответствует ДПФ и 
. Найдем 
и вычислим ОДПФ от 
.
– круговая или циклическая свертка, 
. 
Это нелинейная (апериодическая) свертка 
. 
|
|
|
