 |
Факторизация энергетического спектра
|
|
|
|
Синтезировать физически реализуемую устойчивую ЛИС-систему, которая дает на выходе сигнал с заданной АКФ, в то время как на входе будет белый шум.
, 
, откуда 
, 
, 
.
Решение сводится к тому, чтобы разложить 
на такие множители. Процедуру разложения энергетического спектра на такие множители и называют факторизацией.
Требования:
1. 
должна соответствовать физически реализуемой системе, то есть должна быть дробно-рациональной функцией по отрицательным степеням 
2. должна соответствовать устойчивой системе, то есть иметь полюса, лежащие внутри единичной окружности.
Известно, что если действительно спектр мощности, то 
, 
, то подобное разложение (возможно) существует всегда.
, где 
и 
. Рассмотрим многочлен в знаменателе. 
. Найдем полюсы 
, – всего 
корней. Если 
– корень уравнения, то 
– тоже корень. Если 
, то 
, следовательно, на единичной окружности корней нет. 
, 
– те, которые лежат внутри единичной окружности. 
. Введем обозначение 
и отнесем в его первое произведение и домножим на 
.
, откуда 
.
Аналогично с 
: 
, где 
, 
– корни .
Уравнение имеет право иметь корни на единичной окружности и не требует, чтобы 
. Но условие: , 
– не должно быть парных корней (типа и 
).
Пример:
– нормально, 
– нормально, 
– нельзя.
, где 
– дробно-рациональная функция от 
, все полюсы которой лежат внутри единичной окружности.
Можем взять 
, 
потому что характеристика Спроц. Не зависит от сдвига.
Если на входе 
, а на выходе АКФ , 
, 
, 
, 
, 
теперь важно, чтобы корни 
удовлетворяли требованиям, предъявляемые 
.
Если уравнение имеет корни, лежащие на единичной окружности и они не компенсируются корнями уравнения 
, то система получится неустойчивой.
Постановка задачи восстановления сигналов. Оптимальное и квазиоптимальное восстановление
|
|
|
Пусть имеется некоторый полезный сигнал 
, однако непосредственному наблюдателю он недоступен. В нашем распределении есть сигнал 
.
Наша задача – оценить сигнал по имеющемуся 
.
Уточнения:
1. Будем считать искажающую систему устойчивой ЛИС-системой с известной импульсной характеристикой 
. Тогда 
– линейная модель наблюдений в дискретный момент времени.
2. Восстанавливающая ЛИС-система с ИХ 
3. 
, 
– стационарная случайная последовательность (ССП) и известны их статистические характеристики
4. Ошибка восстановления 
– случайная последовательность. Будем строить такую восстанавливающую систему, которая минимизирует среднеквадратическую ошибку: 
Наша цель – найти ИХ восстанавливающей ЛИС-системы, которая обеспечит минимизацию среднеквадратической ошибки. Такая ЛИС-система будет называться оптимальной линейной восстанавливающей системой или оптимальным линейным восстанавливающим фильтром.
Часто на налагают какие-нибудь ограничения и мы получаем квазиоптимальную процедуру восстановления.
Есть интервал 
, на котором ищем и 
при 
.
. Тогда среднеквадратичная ошибка будет равна:
, 
, 
, 
. 
, штук. 
, 
.
То есть ошибка оптимального восстановления не коррелируется с выходным сигналом – лемма об ортогональном проецировании 
, 
– уравнение Винера-Хопфа.
Для определения импульсной характеристики оптимального (или квазиоптимального) фильтра получим систему:
Определим ошибку восстановления по полученному 
. 
Окончательно, 
.
Рассмотрим частный случай, белый шум и отсутствие [недописано]
, 
.
Известно, что 
,
,
.
Из уравнения Винера-Хопфа
, 
.
Тогда при 
, 
Уравнение Винера-Хопфа. Лемма об ортогональном проецировании
[Необходимо дополнить]
|
|
|
