 |
Задача проектирования цифровых фильтров, этапы ее решения
|
|
|
|
Опр. Цифровым фильтром принято называть ЛИС-систему, реализованную при помощи некоторого арифметического устройства. Цифровые фильтры используются как и аналоговые фильтры.
Нужно учитывать характеристики сигнала, поэтому 
.
Задача проектирования цифрового фильтра заключается в построении дискретной ЛИС-системы с заданныой частотной характеристикой. Эта задача решается в несколько этапов.
- Определение требуемых свойств фильтра: задается ЧХ, анализируется спектр входного сигнала, определяется идеальная ЧХ.
и шаг дискретизации в безразмерных частотах.
В большинстве случаев 
– полосовый фильтр.
Физически выполнить эти требования невозможно. Обычно задаются допуски на отклонение ЧХ от идеальной. 
Иногда налагаются дополнительные требования на фазу ЧХ: 
- Аппроксимация ЧХ
- Выбор структуры информационного фильтра. Выбирается схема ЛИС-системы
- Анализ погнешности квантования. Погрешность возникает в из-за округления коэффициентов фильтра и округления промежуточных результатов.
- Имитация цифрового фильтра (моделирование). Экспериментально проверяют, удовлетворяет ли заданный фильтр требованиям.
Различают нерекурсивный и рекурсивный цифровые фильтры.
Опр. Нерекурсивный цифровой фильтр – такой, в котором отсчет выходной последовательности равен взвешенной сумме отсчетов входной последовательности:
– физически не реализуемый нерекурсивный фильтр
– физически реализуемый нерекурсивный фильтр, КИХ-система
Опр. Рекурсивный цифровой фильтр – отсчеты выходной последовательности формируются с учетом предыдущих отсчетов этой выходной последовательности:
– БИХ-фильтр (в общем случае случайный)
|
|
|
Задача проектирования КИХ-фильтров
Пусть 
, 
. 
. 
.
Зная передаточную функцию, можно выписать ЧХ: 
.
Задача проектирования КИХ-фильтра сводится к задаче аппроксимации функции полиномом степени 
. Находим коэффициенты полинома (они же импульсная характеристика). Если возникает дополнительное требование линейности фазы ЧХ 
. 
, 
. 
, 
, 
. Решим это как уравнение относительно 
.
а) 
, 
, 
, 
б) 
, 
. 
, 
. 
, тогда для фильтра с линейной фазой ИХ симметрична
При 
При 
Усечение ИХ идеального фильтра
Пусть 
задано. 
, т.е. фаза нулевая. Определим по идеальной ЧХ ее ИХ. 
, 
. окажется симметричной, следовательно, четной. 
Данная 
нам не годится. Нужно ее ограничить или усечь.
Величина колеблется до 10% от значения в полосе пропускания.
Становятся чаще колебания, если возьмем шире спектр.
, 
– прямоугольное окно. 
ей соответствует 
, 
соответствует 
, а – . Рассчитаем : 
Метод взвешивания
Метод взвешивания заключается в том, чтобы выбирать так, что спектр был бы гладким. Идеальная ИХ умножается на функцию некоторого окна: . Наложим некоторые ограничения на :
1. Она должна быть ограничена: 
2. Спектр функции окна должен иметь по возможности малые колебания, боковые лепестки.
3. Спектр функции окна должен быть как можно более узким.
Требования эти, как правило, противоречивы.
Примеры функции окна:
1) Прямоугольная: . 
. Боковые лепестки большие, из-за них возникает эффект Гиббса.
2) Обобщенное окно Хэмминга: 
, 
. Обычно берется 
. 
. Практически отсутствуют боковые лепестки.
Достаточность метода взвешивания:
1) Универсальность
2) Относительная простота
Недостатки
1) Трудно получить хорошее качество аппроксимации
2) Недостаточная гибкость при проектировании
Метод частотной выборки
1) КИХ-фильтр описывается значениями своей ИХ в конечном числе своих точек. Например, , 
. Также однозначно задает его и ДПФ ЧХ 
, 
.
2) Однозначная связь ДПФ с непрерывным спектром последовательности конечной длины: 
. Получается дискретизацией ЧХ.
|
|
|
3) Можно осуществить обратный переход. 
и 
Пусть задан . Произведем дискретизацию от 
до 
. 
. Этого достаточно, чтобы построить КИХ-фильтр. В выбранных точках погрешность аппроксимации равна нулю, она будет возникать только в промежуточных. 
, 
.
|
|
|
