Многозначные логики

Если в двузначной логике высказывание бывает истинным или ложным, то в многозначных логиках число значений истинности аргументов и функций может быть любым конечным и даже бесконечным. В настоящем приложении отрицание обозначается через N x или

конъюнкция — через Кху или нестрогая дизъюнкция —через Аху или материальная импликация — через Сху или Значения функции от аргумента а будем записывать так: [д]. Тавтологией (или общезначимой) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает значение «истина» (чаще всего в рас­сматриваемых системах «истина» обозначается цифрой 1).

Развитие многозначных логик, по нашему мнению, подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретно-научных знаний: то, что яв­ляется тождественно-истинным в одной логической системе, не оказывается тождественно-истинным в другой.

Трехзначная система Лукасевича²⁹

Трехзначная пропозициональная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 г. В ней «истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «нейтрально» — ¹/₂ . В качестве основных функций взяты отрицание (обозначается Nx) и импликация (Сху); произ­водными являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тав­тология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются мат­рицами (табл. 13, 14) и равенствами так:

Таблица 13

Таблица 14

1) [Nx]=l-[x];2) [Сху] = 1, если ; 3) [Сху] = 1-[x]+[у], если [x]>[у], или в общем виде: 4)[Сху]=min (1,1 — [x]+[у]).

Конъюнкция определяется как минимум значений аргумен­тов: [Kxy]=min ([x], [у]); дизъюнкция — как максимум значений х и у: [Аху]= тах ([x], [у]).

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и ди­зъюнкции в системе Лукасевича не будут тавтологиями (закона­ми логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики, а также и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего. Поэтому логика Лукасевича не являет­ся отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтоло­гиями являются правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузнач­ной логики: и (т. е. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х).Это можно доказать, взяв [х] = ¹/₂ и [у] = ¹/₂ .

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы, структурно выражающие правильные дедуктивные умозаключения традиционной логики, формализованные средст­вами алгебры логики, а именно modus tollens, простая деструк­тивная дилемма, а также формулы разделительно-категоричес­кого силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение ¹/₂, то в логике Лукасевича и в двузначной логике определения фу­нкций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности — ¹/₂ , то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лука­севича.