 |
Классическое определение вероятности. Алгебра событий
|
|
|
|
Теория вероятностей
Методические указания и задания
Для выполнения типового расчета
По курсу «Математическая статистика»
Саратов 2013
Теория вероятностей: метод. указания и задания для выполнениятипового расчета по дисциплине «Математическая статистика» для специальности 111801.65 Ветеринария / сост. Н.В. Дьяконова //ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ».- Саратов, 2013.-
Методические указания и задания для выполнения типового расчета по дисциплине «Математическая статистика» составлены в соответствии с программой и предназначены для студентов специальности 111801.65 Ветеринария. Они содержат рекомендации, примеры и задания к выполнению типового расчета. Позволяют студентам освоить основные методы теории вероятностей, необходимые для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач. Обоснованием математической статистики является теория вероятностей, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.
Типовой расчет содержит 30 вариантов по 14 задач в каждом и предназначен для студентов данного направления, изучающих теорию вероятности и математическую статистику в рамках общего курса высшей математики.
В данном пособии представлена также необходимая для выполнения типового расчета теоретическая информация и примеры ее применения.
В конце приводится список литературы, которую можно порекомендовать студентам для изучения данного раздела математики.
Содержание
1. Общие методические указания………………………………………………………….4
|
|
|
2. Краткие теоретические сведения и примеры типовых задач…………………………4
3. Варианты заданий………………………………………………………………………21
4. Критерии оценки самостоятельной работы студентов……………………………....80
5. Литература ……………………………………………………………………………...81
6. Приложения……………………………………………………………………………..82
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Типовой расчет «Теория вероятностей» содержит 14 заданий. Первые четыре задания носят комбинаторный характер; следующее задание связано с непосредственным вычислением вероятности и с применением формул сложения и умножения; задание 7 – геометрическая вероятность; 8 задача связана с применением формулы полной вероятности и формулы Байеса; 9-11 задачи связаны с повторными независимыми испытаниями, три оставшиеся задачи посвящены случайным величинам, законам распределения случайных величин и их числовым характеристикам. Задания контрольной работы охватывают следующие разделы теории вероятностей:
- комбинаторика;
- непосредственное вычисление вероятности случайного события;
- геометрическое определение вероятности;
- формулы суммы и произведения вероятности;
- формулы полной вероятности и формулы Байеса;
– повторные независимые испытания: основные понятия, формула Бернулли, формулы Муавра – Лапласа (локальная и интегральная), формула Пуассона, условия применения указанных формул;
– случайные величины: понятие случайной величины, виды случайных величин (дискретные и непрерывные), способы задания случайных величин (закон распределения, функция распределения и плотность распределения (для непрерывных случайных величин));
– числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты случайных величин;
– некоторые виды распределений случайных величин: распределения дискретных случайных величин (биномиальное, распределение Пуассона, геометрическое), распределения непрерывных случайных величин (равномерное, показательное, нормальное);
|
|
|
– предельные теоремы теории вероятностей.
Перед выполнением типового расчета необходимо изучить соответствующие разделы литературы и закрепить с помощью упражнений для самостоятельной работы основные понятия, определения и методы теории вероятностей.
Так же перед решением заданий рекомендуется ознакомиться со всеми примерами, рассмотренными ниже. По каждому заданию типового расчета в методических указаниях приводится основной теоретический материал и разбирается несколько типовых примеров.
Типовой расчет сдается студентом на проверку после изучения всех разделов теории вероятностей.
Защита осуществляется в письменной форме во время занятий по расписанию Повторная защита – проводится вне сетки расписания в письменной форме или в форме собеседования. Работа выполняется на листах формата А4 (210х297), которые затем скрепляются. Решение заданий следует сопровождать краткими пояснениями. Исходные данные для заданий типового расчета выбирает с номерами вариант, которые соответствуют номеру в списке группового журнала.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Тема 1
Комбинаторика
Задачи 1-4
Перестановки - это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.
; 
;
перестановки с повторениями 
.
Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества, состоящего из n элементов.(порядок важен). 
; размещения с повторениями 
. Одно размещение от другого отличается только не только составом выбранных элементов, но и порядком их расположения.
Сочетаниями из n элементов по m элементов будем называть любое подмножество, состоящие из m элементов, множества, состоящего из n элементов. (порядок не важен). 
; сочетания с повторениями 
.
Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов.
Сложная выборка 
= 
.
Решения задач:
1. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу.
|
|
|
Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком следования цифр, причемn1=1, n2=3, а n3=1, а их количество равна 5, т.е. является перестановкой с повторениями из 5 элементов. Их число находим по формуле (3) 
.
2. На карточках написаны буквы М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А. Сколько различных 10-ти буквенных «слов» можно составить из этих карточек? (здесь и далее словом считается любая последовательность букв русского алфавита)
Решение. Перестановка двух букв М, осуществляемая Р2= 2 способами, трех букв А, осуществляемая Р3= 3!=6 способами и перестановка двух букв Т, осуществляемая Р2= 2 способами не меняет составленное из карточек слово. 
слов.
3. Студенты второго курса изучают 10 различных дисциплин. Определить – сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник планируется поставить 5 пар?
Решение: Каждый вариант расписания представляет собой выборку 5 элементов из 10, причем эти варианты отличаются друг от друга не только выбором этих дисциплин, но и порядком их следования, т.е. является размещением из 10 элементов по 5. 
.
4. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?
5. Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?
Решение: порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2}, {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе сочетаний из двух видов монет по четыре с повторениями.
способов.
6. В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных?
Решение: это задача о числе сочетаний из 5 видов пирожных по 4 с повторениями.
способов
7. Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение: это задача о числе сочетаний из 5 цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.
; 
; 
;
; 
Согласно правилу сложения: 5+15+35+70+126=251 чисел.
|
|
|
Решение: 
.
8. Решить уравнения а) 
; б) 
.
Решение:a) ; 
; 
; 
;
б) ; 
; 
; 
.
Тема 2
Классическое определение вероятности. Алгебра событий
Задачи 5 и 6.
Случайным событием (или просто событием) в теории вероятности называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания.
Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.
События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,....
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через Ω.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Обозначается Ø.
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т.е. они не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные шансы.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.
Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В одновременно).
Произведением событий А и В называется событие С=А·В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А, и В одновременно).
Разностью событий A и B называется событие C=А-В, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.
Событие 
называется противоположным событию A, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. означает, что событие А не наступило).
Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А следует, что происходит событие В; записывают А 
В. Если А В и В А, то события А и В называют равными; записывают А=В.
Примеры решения задач.
1. Пусть событие А заключается в том, что первый стрелок попал в мишень,
а событие В заключается в том, что второй стрелок попал в мишень. Тогда событие С=А+В будет заключаться в следующем: или первый стрелок попал в мишень, или второй стрелок попал в мишень, или оба стрелка попали в мишень – иными словами в мишень попал хотя бы один из стрелков.
Событие Д=А 
В будет заключаться в том, что в мишень попали оба стрелка.
|
|
|
2. На предприятии выпускают изделия трех сортов. Событие А заключается в том, что выбранное изделие - 1 сорта, событие В заключается в том, что изделие 2 сорта, событие С заключается в том, что изделие третьего сорта.
Тогда событие А+В означает, что выбранное изделие либо 1, либо 2 сорта.
Событие А·В – невозможное событие; событие 
означает, что выбранное изделие 2 сорта; событие А·В+С означает, что выбранное изделие третьего сорта.
3. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность того, что только одно отделение получит газеты вовремя;
Решение: Введем события
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.
Таким образом так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем, P(X)=P(A1Ā2A3 + Ā1A2 A3 + A1A2 Ā3)=0,95 
=0,32
 4. На рисунке приведена схема электрической цепи.
События:  ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события  и   через события и  .
Решение: С=     или, что гораздо проще
С=(А1+А2)(А3+А4). Тогда =A1A2+A3A4.
| 
|
Тема 3
|
|
|
