Геометрическая вероятность.
Задача 7. Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства). Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(Ω). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область A - часть области Ω, равна отношению мер областей A и Ω, соответственно равные m(A) и m(Ω).
Формула геометрической вероятности Решение задач. Задача о встрече Пьеро и Буратино условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Они договорись, что тот, кто придет первым, ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи Решение. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть х и у — моменты прихода Пьеро и Буратино (они являются точками отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента – множество точек квадрата со стороной 1: Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества 2. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.
3. В треугольник с вершинами в точках (−1,0); (0, 1); (3,0) наудачу брошена точка (х, у). Найти вероятность того, что координаты точки удовлетворяют неравенству 2x + y ≤ 0. Решение: Сделать чертеж. Закрасить область, удовлетворяющую условию задачи.P=1/6.
Тема 4 Полная вероятность. Формула Байеса. Задача 8. Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из некоторой полной группы событий H1, H2, …Hn. События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда P(A) = P(H1)PH1(A) + P(H2) PH2(А) +…+ P(Hn)PHn(A) (1) (формула полной вероятности), причем P(H1) +P(H2) +…+ P(Hn) = 1.
Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий (они называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H1, H2,… Hn после испытания, когда событие А имело место, т.е. PA(Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):
PA (Hi) =
Замечания. 1) Вероятности PA(H1) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез Hi. Эти вероятности различаются. 2) Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и равен P(A). Решение задач. 1. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. а) Каков процент брака на конвейере? б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере? Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Нi – взятая наудачу деталь обработана на i-ом станке,i=1,2,3.
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Зависимости между производительностями станков означают следующее: Для того, чтобы найти вероятности появления гипотез, нам придется решить систему вышеперечисленных уравнений. Решив ее, получим а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная: P(A) = P(H1)PH1(A) + P(H2) PH2(А) + P(H3)PH3(A)== Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%. б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
Таким образом, доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере для первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.
Тема 5 Повторные испытания. Задачи 9-11. Формула Бернулли: Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n испытаниях, выражается формулой, которую называют формулой Бернулли Pn(k) = Cnkpk qn – k ,где q=1-p (1), Иногда бывают полезны следующие формулы: Вероятность того, что событие A: 1) наступит n раз: 2) не наступит ни разу: 3) наступит хотя бы один раз: 4) наступит не более k раз: или 5) наступит не менее k раз: или Из формул (5)и(6), а также (7)и (8) выбирают ту, которая содержит меньше слагаемых.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|