ГРУППА III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)

На множестве отрезков и углов вводится отношение конгруэнтности или равенства (обозначается “=”), удовлетворяющее аксиомам:

III₁ Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из т. А^/, то $ т.В^/, принадлежащая данному лучу, т. что АВ=А^/В^/.

III₂ Если А^/В^/=АВ и А^//В^//=АВ, то А^/В^/=А^//В^//.

III₃ Пусть А-В-С, А^/-В^/-С^/, АВ=А^/В^/ и ВС=В^/С^/, тогда АС=А^/С^/

Опр3 Если О^/ - точка,.h^/-луч, исходящий из этой точки, а l^/-полуплоскость с границей , то тройка объектов О^/,h^/ и l^/ называется флагом (О^/,h^/,l^/).

III₄ Пусть даны Ðhk и флаг (О^/,h^/,l^/). Тогда в полуплоскости l^/ существует единственный луч k^/, исходящий из точки О^/, такой что Ðhk = Ðh^/k^/.

III₅ Пусть А,В и С - три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ=А^/В^/, АС=А^/С^/, ÐВ^/А^/С^/ = ÐВАС, то ÐАВС = ÐА^/В^/С^/.

1. Точка В^/ в III₁ единственная на данном луче (самост.)

2. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

3. В равнобедренном треугольнике углы при оснований равны. (По III₅).

4. Признаки равенства треугольников.

5. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов. (Доклад)

6. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.

7. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

8. Любой отрезок имеет одну и только одну середину

9. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису

Можно ввести следующие понятия:

Опр4 Угол равный своему смежному называется прямым.

Можно определить вертикальные углы, перпендикуляр и наклонные и т.д

Можно доказать единственность ^. Можно ввести понятия > и < для отрезков и углов:

Опр5 Если даны отрезки АВ и А^/В^/ и $ т.С, т. что А^/-С-В^/ и А^/С=АВ, то А^/В^/>АВ.

Опр6 Если даны два угла Ðhk и Ðh^/k^/, и если через внутреннюю область Ðhk и его вершину можно провести луч l такой, что Ðh^/k^/ = Ðhl, то Ðhk > Ðh^/k^/.

И самое интересное, это, то что при помощи аксиом групп I-III можно ввести понятие движения(наложения).

Делается это примерно так:

Пусть даны два множества точек p и p^/.Предположим, что между точками этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие. Каждая пара точек М и N множества p определяет отрезок МN. Ппусть М^/ и N^/ точки множества p^/, соответствующие точкам МN. Отрезок М^/N^/ условимся называть соответствующим отрезку МN.

Опр7 Если $ соответствие между p и p^/ такое, что соответствующие отрезки всегда оказывается взаимно конгруэнтными, то и множества p и p^/ называется конгруэнтными. При этом говорят также, что каждое из множеств p и p^/ получено движением из другого или, что одно из этих множеств может быть наложено на другое. Соответствующие точки множества p и p^/ называется совмещающимся при наложении.

Далее развивается теория наложений. Например, имеют место

Утв1: Точки лежащие на прямой, при движении переходят в точки, также лежащие на некоторой прямой.

Утв2 Угол, между двумя отрезками, соединяющими какую-нибудь точку множества с двумя другими его точками, конгруэнтен углу между соответствующими отрезками конгруэнтного множества.

Можно ввести понятие вращения, сдвига, композиции движений и т.д

ГРУППА IV. Аксиомы непрерывност и.

IV₁ (Аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂, …, А_n, таких что выполняются условия:

1. А-А₁-А₂, А₁-А₂-А₃, …, A_n-2-A_n-1-A_n

2. AA₁ = A₁A₂ = … = A_n-1A_n = CD

3. A-B-A_n

IV₂ (Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А₁В₁, А₂В₂,… из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка СD найдется натуральное число n, такое, что А_nВ_n < СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Из условия аксиомы Кантора сразу следует, что такая т.M единственная, т. к. если это не так, и сущ. еще одна т.N, то отрезок МN<A_nB_n "n, что противоречит условию аксиомы.

Можно доказать, что аксиомы I-III и IV₁,IV₂ эквивалентны следущему предложению Дедекинда.

Теорема Дедекинда Пусть дано разбиение точек отрезка [АВ] на два класса К₁ и К₂, те К₁ È К₂ = [АВ], К₁ÇК₂=Æ, удовлетворяющее двум условиям:

a) АÎК₁, ВÎК₂ и классы К₁ и К₂ содержат точки, отличные от точек А и В.

b) Любая точка класса К₁, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса К₂

Тогда $ т.М₀ отрезка [АВ],такая, что любая точка, лежащая между А и М₀, принадлежит классу К₁, а любая точка между М₀ и В- классу К₂.

Разбиение отрезка [АВ] на классы К₁, К₂ удовлетворяющее условиям а)-в), называется дедекиндовым сечением. Можно доказать, что точка М₀, производящая сечение единственна.

На основании аксиом I-IV групп можно построить теорию измерения отрезков и углов. Даже можно доказать, что $ биекция. множества точек прямой на множество R вещественных чисел, сохраняется порядок. А вот теорию площадей и объемов построить нельзя, т.к. понадобился Аксиома параллельности.

ГРУППА V. Аксиома параллельности.

V. Пусть а - произвольная прямая, а А- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

На основании I-V можно построить теорию параллельности, подобия и т.д. обосновать тригонометрию, ввести координаты, показать, что прямая на плоскости (определение уравнение первой степени и т.д.)

ЗАМЕЧАНИЕ: V^* Пусть а- произвольная прямая, А- точка не лежащая на одной прямой.Тогда в плоскости, определенной т.А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через А и не пересекающих а.

Группа I-IVÈV^*-строится геометрия Лобачевского.

Как же так получается, что, заменив лишь одну аксиому, мы получили совсем другую геометрию? Здесь придется затронуть сами основы математики и правила построения математических теорий.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: