Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства
⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6 W1 "AÎЕ, " W2 "А, В, СÎЕ выполняется равенство W3 Множество G есть множество положительно определенных билинейных форм, таких, что, если g( Напомним: положительная определенность означает, что g( W1, W2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства. Здесь мы исходим из того, что структура V и структура R нам известны. Поэтому структура Е3 (по Вейлю) определена лишь тремя аксиомами. Имеет место Теорема 1 Система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Построим интерпретацию. В качестве V возьмем множество столбцов вида
Мы знаем, что множество таких столбцов, образуют трехмерное векторное пространство. Множество G определяют так: Рассмотрим билинейную форму g0( Т.е. они отличаются лишь постоянным множителем. Теперь самое главное - это множество Е. Точкой назовем любую строку вида (m1,m2,m3), m1,m2,m3Î R. (1) s Проверим W1 Пусть А=(а1,а2, а3) произвольная точка, W2. Пусть А=(а1,а2,а3), В=(в1,в2,в3) и С=(с1,с2,с3) легко проверить, что Мы построили интерпретацию. Значит система аксиом åw- непротиворечива.
Имеет место Теорема 2 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства - категорична. (сказать идею)
СЛЕДСТВИЕ: Система аксиом Вейля- полна
§10 Эквивалентность аксиоматик åW и åH (Вейля и Гильберта)
В этом параграфе мы докажем эквивалентность аксиоматик Гильберта и Вейля. Сначала докажем, что в теории Á(W) можно получить все аксиомы åН как теоремы. Но прежде, надо в теории Á(W) построить все основные понятия теории Á(Н). Вообще говоря, мы это уже делали на втором курсе. Напомним: Пусть Lk, k=1, 2 одномерное или двумерное подпространство векторного пространства V. Введем на множестве всех точек пространства Е3 бинарное отношение D. Пусть А, ВÎЕ, АDВÛ Таким образом, прямая однозначно определяется заданием одной точки и подпространства L1 или, что то же самое, одного вектора Вспомним, как в Е3, вводится система координат: выберем т. ОÎЕ и базис в V По W1 $ А, В, и С: I1 и I2: Через любые две точки А и В проходит единственная прямая. Док-во. Рассмотрим прямую d: (А, Пусть $d/: (А, L/1) или (В, L/1), но это означает, что
I4 и I5: Через любые три строчки А,В, и С, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Идея: плоскость s определяется т. А и подпространством L натянутым на I6: Если точки А и В прямой d лежат в плоскости s, то и все точки прямой d лежат в s (самостоятельно). I7 (более сильное докажем): Если две плоскости s и s/ имеют общую точку А, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки плоскостей s и s/. Идея: пусть s = (А,L2), s/ = (А,L/2), но L2 и L2/- различны. DimL2+dimL2/= 4>3, значит не пересекаться они не могут значит dim(L1ÇL2)=1, причем L1ÇL2ÌL1 и L1ÇL2ÌL2. Все с HI! У нас уже промелькнули слова о пересечении подпространств. Поэтому докажем в Á(W) HV. Чтобы ввести понятия, участвующие в HV придется потрудиться. Лемма: Если две прямые лежат в одной плоскости и их направляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются. Доказательство: Пусть (А, Ч.т.д. ЗАМЕЧАНИЕ: Кстати только по одной точке, учитывая HI1,2 . Опр. 1 Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Пусть две различные прямые (А, L1) и (В, L1) имеют одно и то же направляющее подпространство L1. По df прямой это элементы фактор множества Кроме того, они, очевидно, лежат в одной плоскости определяемой т. А и векторами Теорема1. Две различные прямые параллельны тогда и только тогда, когда они имеют общее направляющее подпространство и не имеют общих точек. HV: Через данную т. А, не лежащую на данной прямой d, проходит одна и только одна прямая, // прямой d. Доказательство. Существование очевидно, т.к. L- направляющее подпространство d, то прямая (A, L) // d по теореме 1. Единственность: пусть существует еще одна прямая (A, L/) // d. Но тогда по той же теореме1 L = L/. Значит прямые (A, L) и (A, L/) – совпадают, по определению прямой.
Аналогично можно ввести понятие и доказать соответствующие свойства для // плоскостей. Перейдем к доказательству HII. Для этого нам понадобится построить в Á(W) отношение лежать между, и убедиться, что оно обладает свойствами HII. Построим так: сначала введем понятие луча, заодно и угла. А потом докажем все HII и введем понятие отрезка. Поехали: Пусть d- прямая, L1 - ее направляющее подпространство. Рассмотрим множество W= L1\{ Нетрудно доказать, что это отношение является отношением эквивалентности (сами). Заметим, что Опр 3 Каждый из элементов фактор множества Таким образом, на каждой прямой имеется только два направления. ЛЕММА: Если Доказательство: Опр 4. Пусть d произвольная прямая, О- некоторая ее точка, а W0- одно из направлений на этой прямой. Множество h всех точек М, т. что Поскольку на прямой имеются только два направления, то существует два и только два луча прямой d, исходящие из произвольной точки прямой. Эти лучи называются дополнительными. Ясно, что если h и h/. Дополнительные лучи прямой d, то множество точек прямой {M÷MÎd}=hÈh/ÈО. Опр 5. Углом называется фигура, состоящая из т. О и двух лучей h и k, исходящих из этой точки. Угол называется развернутым, если h и k- дополнительные лучи.
Опр 6. Будем говорить, что точка М лежит между точкой А и точкой В, если А теперь несложно будет доказать II1, II2 и II3. И даже более сильное утверждение, что из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Теперь докажем аксиому Паша. Но для этого нам понадобятся координаты на плоскости. Ее направляющее подпространство L2. Если Утверждение 1. т. М (х, у) лежит между двумя точками А (х1,у1) и В (х2,у2) тогда и только тогда, когда $l>0, так что x = Следствие: $ бесконечное множество точек, лежащих между т. А и В. Т.к. теперь при фикс. х1 и х2 и любом l>0, х и у определены. И только теперь: Опр 7. Множество, состоящее из двух точек А и В и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком и обозначается АВ или ВА. Докажем аксиому Паша. Теорема Паша. Пусть А, В и С- три точки, а d – прямая, лежащая с данными точками в одной плоскости и не проходящая через них. Если прямая d пересекает отрезок АВ, то она пересекает, в точности один из отрезков ВС или АС. Доказательство: Выберем систему координат О Пусть в этой системе координат А (х1,у1), В (х2,у2), С (х3,у3). Эти точки не лежат на d, Þ у1¹0, у2¹0, у3¹0. Пусть М (х, у) = dÇAB.
$l>0: х = C HII покончено. Перейдем к доказательству HIII . Мы введем основные понятия и наброски некоторых доказательств. Опр 7. Отрезки АВ и СД называется равными (АВ=СД), если для любой билинейной формы gÎG выполняется равенство (*) g( Замечание 1. Поскольку в G формы связаны соотношением g1=lg2,то если найдется хотя бы одна удовлетворяющая (*), то (*) будет верна и для всех форм из G, т.е. АВ=СД Замечание2. Т.к. Нетрудно проверить выполнениеIII1, III2, III3. III2 очевидна (АВ=А/В/ÙАВ=А//ÞА/В/=А//В//) III1 Пусть АВ-некоторый отрезок, а h/– произвольный луч, с началом А/. Тогда существует одна и только одна т В/Îh/, т. что АВ=А/В/ Доказательство: Пусть III3. Если А-В-С, А/-В/-С/, АВ=А/В/ и В/С/, то АС=А/С/.Доказывается, используя отношения «лежать между» и положительную определенность формы gÎG.
Опр 8. Ненулевые векторы Т.к. любые две формы из G связаны соотношением g1=lg2, l>0, то если Опр 9. Две прямые называется ^, если их подпространства ортогональны. Аналогично прямая d^a: Ld ортогонально La. И можно ввести понятия ^ плоскостей. (Через двугранный угол или через нормали). Заметим, что подпространства двух ^ плоскостей не ортогональны! Условие аксиомы W3, может показаться странным, там ведь множитель l, что означает выбор l? Оказывается выбор единичного отрезка, соответствует выбору той или иной формы из G. А введение понятия единичного отрезка уже позволяет в Á(W) построить теорию измерений. Выберем произвольный отрезок АВ и назовем его единичным. Лемма (важная): Если выбран отрезок АВ, то в множестве G $!,билинейная форма gÎG: g( Доказательство. Очевидно: если g/ÎG и g/( Ч.т.д. Опр 10. Если АВ - единичный отрезок, то билинейную форму gÎG, т.что g( Таким образом, если в Е3 мы выберем единичный отрезок, то векторное пространство V станет евклидовым векторным пространством (одна форма) и в нем вводится скалярное произведение векторов, и норма вектора Опр 11. Длиной отрезка РQ при выбранном единичном отрезке АВ называется норма вектора Имеют место следующие свойства длин отрезков Свойство 1. Если два отрезка равны, то их длины равны (по формуле (2)). Свойство 2. Если А-В-С, то êАВê+êВСê=êАСê. Доказательство. Свойство 3. Длина единичного отрезка равна 1. Свойство 4. " А,В и СÎ Е3 ÷АС÷£÷АВ÷+÷ВС÷, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда А-В-С. Опр 12. Расстоянием между точками А и В называется длина отрезка АВ. Для доказательства III4 и III5 вводится понятие движения. Опр 13. Преобразование Е3 называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. И тут уже вступает в силу обычная теория движения евклидовых пространств по схеме Вейля, т. Е. Через параллельные переносны и ортогональные матрицы х/=А Имеет место Теорема (о флагах). Пусть (О,h,a) и (О/,h/,a/)- произвольные флаги. Тогда $! Движение, которое флаг (О,h,a) переводит в (О/, h/,a/). Опр 14. Две фигуры F и F/ называются равными, если $ движение, которое одну фигуру переводит в другую. Ясно теперь, как ввести равенство углов, это соответствует и равенству отрезков веденному ранее. III4 и III5 понятно (т.к. полуплоскость в полуплоскости, флаг в флаге ч.т.д.) I Опр 15. Ðhk=Ðh/k/, если существует движение, которое Ðhk переводит в Ðh/k/. III4. Пусть Ðhk- неразвернутый угол, а (О/,h/,a/)- некоторый флаг. Тогда в полуплоскости a/ $! луч k/, исходящая из т.О/, такой, что Ðhk=Ðh/k/. Доказательство. Пусть О - вершина угла hk, и (O,h,a)-флаг в котором лежит луч k. $! движение f: (О, h, a) ® (О/, h/, a/) и k/=f(k). k/ - искомый. !: Пусть k//: Ðhk=Ðh/k//Þ$ движение f/,такое что f /(h)=h/ и f /(k)=k// , но тогда f/:(O,h,a)®(O/,h/,a/)Þk/=k//. Вместо III5 докажем более сильное утверждение. Теорема (Iпризнак равенства треугольников). Если в DАВС и DА/В/С/ АВ=А/В/, АС=А/С/ и ÐА=ÐА/, то DАВС=DА/В/С/. Доказательство. Т.к. ÐА=ÐА/, то $ движение ¦, т. что [АВ)®[А/В/), а луч АС в луч А/С/. Пусть f(B)=B//, f(C)=C//, тогда АВ=А/В// и по условию АВ=А/В/. В силу III1 и транзитивности В/=В//. Аналогично С/=С//. Следовательно DАВС ® DА/В/С/ Þ DАВС=DА/В/С/. HIV. Ведем единичный отрезок и понятие числовой оси и т.п. Так как V над R, то можно установить взаимно - однозначное соответствие между R и точками прямой по W1. А значит будут выполнены аксиомы Архимеда и Кантора. Таким образом, в теорий Á(W) выполняет все åH Обратное: Мы говорили о том, что в Á(H) можно ввести координаты, ^, направление, луч, вектор, а, следовательно, будут иметь место все åW. Итак, мы доказали две важные теоремы: Теорема I. С истемы аксиом åH и åW эквивалентны. Теорема II. Система аксиом åH непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. P.S. В Ефимове прямо построена аналитическая модель для åH.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|