Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Понятие математической структуры




 

Опр1 Пусть даны некоторые множества М1,…,Мn. Всякое подмножество DÌМ1×…×Мn называется отношением определенным на множествах М1,…,Мn, при этом говорят, что (m1,m2,…,mn),miÎМi находится в отношении D, если (m1,…,mn)ÎD.

В курсе алгебры вы изучали Бинарные, n-арные, унарные oтношения, операции, если М1=…=Мn, отображения их вы определили через отношения.

Ясно, что если на множествах М1,…, Мn рассмотрим два разных подмножества D1 и D2,то свойства отношений будут чем-то отличаться и мощность множества всех отношений равна Р1× …×Мn)

Ясно, что если хотя бы одно из множеств Мi бесконечно, то и множество отношений будет бесконечным. Поэтому бессмысленно изучать все отношения существующие на данной системе множеств. Здесь математика идет другим путем, а именно сначала выделяют отношения с наперед заданными свойствами, а за тем изучают множества, на которых они заданы или ищут те множества, на которых эти отношения выполняются.

Возьмем конечную систему различных множеств.E,F и G пусть их три. Пусть D1,…,Dк - некоторые отношения на системе множеств Е, F,G. Причем мы их не будем явно фиксировать, а лишь потребуем, чтобы они обладали заданными свойствами.

(1) А1,…, Аt.

Эту совокупность отношений обозначим s ={D1,…, Dk}. Может случиться, что таких систем будет не одна, а несколько

ПРИМЕР: D(а,в)=D(в,а) на R, по “*”,”+”.

Обозначим через Т множество всех систем отношений s обладающих свойствами (1).

Опр2 Если Т¹Æ, то говорят, что элемент sÎТ определяет на множествах E, F, G математическую структуру рода Т. Ясно сформулированные свойства А1,…,Аt, определяющие множество Т называется аксиомами структур рода Т, а множества E,F,G- базой структур рода Т.

ЗАМЕЧАНИЕ 1:Всем структурам одного и того же рода дается специальное название: структура группы, структура векторного пространства, структура евклидова пространства, структура кольца.

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Если база состоит из нескольких множеств, то иногда одно из них играет основную роль, а остальные вспомогательную в определенных структурах, тогда говорят, что эти структуры определены на множестве Е., Например: Е, Vn+1, поле K- модель проективной плоскости над полем К или векторное пространство над полем К (о векторном пространстве).

ПРИМЕР 1: Структура группы: База 1- множество, 1-отношение, уд-ее 4 аксиомам.

ПРИМЕР 2: Структура евклидова пространства по Гильберту (отношения: инцидентность, порядок, равенства,……….).

ПРИМЕР 3: Структура Афф. Пространства по Вейлю.

ПРИМЕР 4: Евклидово пространство над векторным пространством V.

Систему аксиом будем обозначать å

Опр3 Теория структур рода Т-это множество Á(å) предложений (теорем), каждое из которых выводимо из аксиом системы å, определяющих структуру рода Т.

Математика занимается построением теорий структур заданного рода Т. Метод - аксиоматический.

 

Интерпретация системы аксиом

Не на всяком множестве Е можно определить структуру любого рода. Например, на конечном множестве Е можно определить структуру n-мерного векторного пространства над бесконечным полем. Но ту же структуру можно определить на множестве К×К×…×К=Кn

Мы уже говорили о структурах и базах, и в определении структуры звучало: если Т¹Æ. Но когда же оно может быть пусто?

a) Данная база не допускает структуру требуемого рода. Тут простор для раздумий …$ др. база.

b) Не существует базы, допускающей требуемую структуру (т.е. всегда Т=Æ)

Опр1 Система аксиом å={A1, …, At}, определяющая структуру рода Т называется содержательно не противоречивый, если существует база, допускающая требуемую структуру. Если такой базы не существует, то å называется противоречивой.

Опр2 Если указано конкретное множество М, на котором можно придать конкретный смысл отношениям D1, D2,..., Dк, так, что все аксиомы А1, А2,..., Аt оказываются выполненными, то, говорят, что построена интерпретация системы аксиом å, а само множество М называют моделью структур рода Т.

ПРИМЕР: Проективное пространство. Аффинное пространство на множестве Е, множество матриц 1×n.

Следовательно, чтобы доказать непротиворечивость (содержательную) системы аксиом å={A1,..., At}, достаточно построить хотя бы одну ее интерпретацию.

 

Изоморфизм структур

Пусть система аксиом å={A1,..., At} содержательно непротиворечива и, следовательно, определяет структуры рода Т с основными отношениями D1, D2,..., Dк.

Пусть на множестве М/ опеделена структура s/ÎТ, а на множестве М// определена структура s//ÎТ. Это означает, что мы придали конкретный смысл отношения Di, i=1,...,k, на множествах М/ и М//. Обозначим их Di/ и Di// соответственно.

Опр1 Структуры s/ и s// называется изоморфными, если существует биекция f:M/®M//, такая, что элементы х//, v/ÎM/ находятся в отношении D/i, тогда и только тогда, когда элементы f (х/), f (у/), f (v/)ÎМ// находится в отношении Di//. Само отображение f называется изоморфизмом структур s/ и s//.

Опр2 Изоморфизм множества М со структурой s на себя называется автоморфизм множества М с данной структурой (автоморфизм группы, кольца и т.д.)

ЗАМЕЧАНИЕ:

Пример:f: R+ ® R: f(x)=lnx.

Какой должна быть система аксиом?

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...