 |
Логическое умножение (конъюнкция)
|
|
|
|
Логические основы работы ЭВМ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
для бакалаврантов 1-го курса всех направлений и форм обучения
Хабаровск 2012
ББК У.в6
Х12
Логические основы работы ЭВМ: методические указания к выполнению лабораторной работы для бакалаврантов 1-го курса всех направлений и форм обучения / А. Н. Вишневский. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2012. – 36 с.
Рецензент зав. каф. информатики ТОГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Стригунов
В методических указаниях рассматриваются вопросы изучения логических основ работы ЭВМ, основных понятий и операций алгебры логики. Приведённые примеры, задачи и тесты могут быть использованы при подготовке к экзамену.
Предназначено для бакалаврантов 1-го курса всех направлений и форм обучения ХГАЭП.
Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний для бакалаврантов 1-го курса всех направлений и форм обучения
Анатолий Николаевич Вишневский
Логические основы работы ЭВМ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
для бакалаврантов 1-го курса всех направлений и форм обучения
Редактор Г.С. Одинцова
Подписано к печати Формат 60х84/16.
Бумага писчая. Цифровая печать. Усл.п.л. 2,1. Уч.-изд.л. 1,5.
Тираж 100 экз. Заказ №
680042, г.Хабаровск, ул.Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ
© Вишневский А.Н., 2012
© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2012
Основы логики и логические основы компьютера
Формы мышления
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи) от их содержания.
|
|
|
Логика — это наука о формах и способах мышления
Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.
Понятие
Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединённые понятием, образуют некоторое множество. Например, понятие «компьютер» объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой. Даже по этому короткому описанию компьютер трудно спутать с другими объектами, например с механизмами, служащими для перемещения по дорогам и хранящимися в гаражах, которые объединяются понятием «автомобиль».
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Понятие имеет две стороны – содержание и объём. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.
Например, содержание понятия «персональный компьютер» можно раскрыть следующим образом: «Персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя». Объём понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объём понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.
|
|
|
Высказывание
Своё понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.
Высказывания могут быть выражены с помощью не только естественных языков, но и формальных. Например, высказывание на естественном языке имеет вид: «Два умножить на два равно четырём», а на формальном, математическом языке оно записывается в виде: «2∙2 = 4».
Об объектах можно судить верно или неверно, то есть высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Примером истинного высказывания может служить следующее: «Процессор является устройством обработки информации».
Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности, например: «Процессор является устройством печати».
Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна.
Конечно, иногда истинность того или иного высказывания является относительной. Истинность высказываний может зависеть от взглядов людей, от конкретных обстоятельств и так далее. Сегодня высказывание «На моём компьютере установлен самый современный процессор AMD Opteron 254 Troy (S940, L2 1024Kb) BOX» истинно, но пройдёт некоторое время, появится более мощный процессор, и данное высказывание станет ложным.
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
До сих пор мы рассматривали простые высказывания. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Например, высказывание «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединенных союзом «и».
Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.
|
|
|
Приведённое выше составное высказывание истинно, так как истинны входящие в него простые высказывания.
1.4. Умозаключение
Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получать заключение, то есть новое знание. Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства.
Например, если мы имеем суждение «Все углы треугольника равны», то мы можем путём умозаключения доказать, что в этом случае справедливо суждение «Этот треугольник равносторонний».
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).
Посылками умозаключения, по правилам формальной логики, могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.
Алгебра логики
Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Пример. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.
Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример. Предложение «Давайте пойдём в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Пример. «x+2>5» – высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.
|
|
|
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).
Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2» – простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» – составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки «и».
Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.
Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».
Логическое умножение (конъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказывании в одно с помощью союза «и» называется опера цией логического умножения или конъюнкцией,
логическим И.
Для обозначения операции логического умножения, или конъюнкции, используют символы Ʌ, &,. (точку, которую можно опускать), AND.
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Следовательно, составное высказывание принимает значение “ложь”, когда ложно хотя бы одно из этих высказываний.
Так, из приведённых ниже четырёх составных высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвёртое, так как в первых трёх составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:
«2 • 2 = 5 и 3 • 3 = 10»,
«2 • 2 = 5 и 3 • 3 = 9»,
«2 •2 = 4 и 3 • 3 = 10»,
«2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 9».
Перейдём теперь от записи высказываний на естественном языке к их записи на формальном языке алгебры высказываний (алгебры логики). Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:
|
|
|
F = А & В либо (F = А Ʌ В)
С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные А и В, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).
Сама функция логического умножения F также может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах её аргументов (таблица 1).
Таблица 1 – Таблица истинности функции логического умножения (конъюнкции)
| А | В | F = А & В F = А Ʌ В |
По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2 • 2 = 4 и З • 3 = 10».
Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0); по таблице определяем, что логическая функция принимает значение “ложь” (F = 0), то есть данное составное высказывание ложно.
|
|
|
