 |
Логический элемент И (конъюнктор)
|
|
|
|
Его работа заключается в том, что на выходе получается сигнал, равный «1», когда на оба входа был подан единичный сигнал. Элемент имеет два входа и один выход.
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.
Первый контакт в положении «выкл», второй – в положении «вкл». Ток не идёт, лампочка не горит.
Обратная ситуация. Лампочка не горит.
Оба контакта в положении «включено».
Тогда ток через лампочку идёт и она горит.
Таблица истинности логического элемента «И»
Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор)
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.
Первый контакт в положении «выкл», второй – в положении «вкл». Ток идёт, лампочка горит.
Обратная ситуация. Лампочка горит.
Оба контакта в положении «включено».
Тогда ток через лампочку идёт и она горит.
Логический элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»
Схематически элемент элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» обозначается следующим образом:
Элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»
Составим таблицу истинности логического элемента «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» (таблица 17).
Таблица 17 – Таблица истинности элемента «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»
| ВХОДЫ | ВЫХОД | |
| Х1 | Х2 | Y |
Составим таблицу условных обозначений основных логических элементов компьютера (таблица 18).
Таблица 18 – Условные обозначения логических элементов компьютера
| Логическая функция | Условные обозначения |
| Инверсия (НЕ) F = Ā | 
|
| Конъюнкция (И) F = А & В |  И
|
| Дизъюнкция (ИЛИ) F = A v В |  ИЛИ
|
Исключающее ИЛИ
| 
|
Инверсия конъюнкции
(И – НЕ)
F= 
| 
|
Инверсия дизъюнкции
(ИЛИ – НЕ)
F= 
| 
|
Вопросы для самопроверки
|
|
|
1. Какие существуют основные формы мышления?
2. В чём состоит разница между содержанием и объёмом понятия?
3. Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?
4. Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?
5. Что содержат таблицы истинности и каков порядок их построения?
6. Какие логические выражения называются равносильными?
7. Какое количество логических функций двух аргументов существует и почему?
8. Какие логические функции двух аргументов имеют свои названия?
9. Какое существует количество логических функций трёх аргументов?
Решение логических задач
Примеры решения задач
Пример 1
Какой логической операции соответствует таблица истинности?
| A | B |
F=A → B
Таблица истинности соответствует логической функции «импликация».
Пример 2
Найти значение логического выражения 
,
при А=0 (false), В=1 (True), С=0 (False).
Решение: подставим значения переменных в выражение и вычислим его согласно приоритету выполнения операций:
=0 v 1 & 
=0 v 1& 1=0 v 1=1 (True).
Ответ: данное логическое выражение имеет значение True.
Пример 3
Найти значение логического выражения: (А<В) v (В>2) v (А ≠ 5) при А=5, В=-4.
Решение: Подставим значения переменных в выражение и вычислим его согласно приоритету выполнения операций:
(5<-4) v (-4>2) v (5 ≠ 5)=0 v 0 v 0=0.
Пример 4
Упростить логическое выражение: (А & В) v (А & 
). Правильность упрощения проверить с помощью таблиц истинности.
Решение: Воспользуемся законом диструбтивности и вынесем за скобки А:
(А & В) v (А & ) = А & (В v ).
По закону исключённого третьего В v = 1, следовательно,
А & (В v ) = А & 1 = А.
Таким образом
(А & В) v (А & ) = А.
Составим таблицу истинности для выражения (А & В) v (А & )
| А | В |
| А & В | А & )
| (А & В) v (А & )
|
Пример 5
|
|
|
По заданной логической схеме составить логическое выражение и заполнить для него таблицу истинности.
Решение: Используя обозначения логических элементов, составим логическое выражение 
.
Заполним для F таблицу истинности
| X | Y | Z | X & Y | 
| 
| 
|
Пример 6
Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) Λ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?
1) КРИСТИНА
2) МАКСИМ
3) СТЕПАН
4) МАРИЯ
Решение: Имя должно удовлетворять условию, значит, F=1.
Заменим выражения на логические переменные:
первая буква согласная – А
вторая буква согласная – В
предпоследняя буква гласная – С
последняя буква гласная – D
(A→B)Λ(C→D) = 1.
Расставляем приоритеты логических операций. Сначала должна выполняться конъюнкция. Чтобы выражение было равно 1, необходимо, чтобы (A→B) = 1 и (C→D) = 1.
Теперь рассмотрим импликации. В каждой из них есть по 3 возможных варианта, когда импликация равна 1.
A→B = 1.
| А | В | A→B |
C→D=1.
| C | D | С→D |
Теперь будем проверять каждое имя.
КРИСТИНА: А=1, В=1, С=0, D=1.A→B=1.C→D=1. Следовательно, это имя подходит.
МАКСИМ: А=1, В=0, С=1, D=0. A→B=0. C→D=0. Следовательно, это имя не подходит.
СТЕПАН: А=1,В=1, С=1, D=0.A→B=1.C→D=0. Следовательно, это имя не подходит.
МАРИЯ: А=1,В=0,С=1,D=1.A→B=0.C→D=1. Следовательно, это имя не подходит.
Пример 7
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
| X | Y | Z | F |
Какое выражение соответствует F?
1) X Λ Y Λ Z
2) X V Y V Z
3) X V Y V Z
4) XΛYΛZ
Решение: Будем решать подстановкой предлагаемых вариантов.
1) F=X Λ Y Λ Z = 1 только в случае, когда X, Y, Z = 1. Проверяем по таблице. Этому условию не удовлетворяют вторая и третья строки таблицы.
Не подходит.
|
|
|
2) F=XVY V Z. Подставляем значения из таблицы:
для первой строки F=0 V 0 V 1=1 в случае, когда хотя бы одно из значений X, Y или Z =1
для второй строки F = 0 V 0 V 0=0. Следовательно, не подходит.
3) F=X V Y V Z=1 Проверяем по таблице. Подходит для всех трёх строк таблицы.
4) F=XΛYΛZ. Подставляем значения из таблицы:
F = 0 Λ 0 Λ 0=0. Следовательно, не подходит.
Ответ: выражение 3) F=X V Y V Z=1
Пример 8
Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению:
A V (B ΛC):
1) A V B V C
2) A V (B Λ C)
3) A V B V C
4) A V B V C
Решение: выносим за скобки операцию отрицания AV(BΛC)=AV(BΛC)
двойное отрицание логического выражения AV(BΛC) даёт выражение
A V (B ΛC)
Ответ: AV(BΛC) = A V (B Λ C).
Тесты
1. Наука, изучающая законы и формы мышления, называется:
а) алгеброй;
б) геометрией;
в) философией;
г) логикой.
2. Повествовательное предложение, в котором что-то утверждается или отрицается, называется:
а) выражением;
б) вопросом;
в) высказыванием;
г) умозаключением.
3. Какое из следующих высказываний является истинным:
а) город Париж – столица Англии;
б) 3+5=2+4;
в) II + VI = VIII;
г) томатный сок вреден.
4. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется:
а) инверсией;
б) конъюнкцией;
в) дизъюнкцией;
г) импликацией.
5. Логической операцией не является:
а) логическое деление;
б) логическое сложение;
в) логическое умножение;
г) логическое отрицание.
6. Логическая функция – это:
а) простое высказывание;
б) составное высказывание;
в) вопросительное предложение;
г) логическая операция.
7. Объединение двух высказываний в одно с помощью оборота «если…, то…» называется:
а) инверсией;
б) конъюнкцией;
в) дизъюнкцией;
г) импликацией.
8. Таблица, содержащая все возможные значения логического выражения, называется:
а) таблицей ложности;
б) таблицей истинности;
в) таблицей значений;
г) таблицей ответов.
Задания
Задание 1. Какой логической операции соответствует таблица истинности?
| X | Y | F |
Задание 2. Какой логической операции соответствует таблица истинности?
|
|
|
| X | Y | F |
Задание 3. Найти значения приведённых ниже логических выражений:
А & В V C при А =0(False), В = 1(True), C = 0 (False).
(X > Y) V (Z <4) при X = 5, Y = 7, Z = 0.
A V В при A = False, B = False.
(a < z) V (z > -10) & (a ≠ 5) при a = 8, z = -6.
& C при А =False, В = False, C = True.
Задание 4. Задано логическое выражение 
Составить логическую схему для данного выражения и заполнить таблицу истинности.
Задание 5. Упростить логическое выражение 
V 
. Правильность упрощения проверить с помощью таблицы истинности.
Задание 6. Доказать данное равенство с помощью таблицы истинности.
X ↔ Y = (X & Y) V (X & Y)
Задание 7. По заданным логическим выражениям составить логические схемы и заполнить таблицы истинности:
· Записать составное высказывание «(2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 9) или (2 • 2 ≠ 4 и 3 • 3 ≠ 9)» в форме логического выражения.
· Построить таблицу истинности.
Задание 8. Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения
Задание 9. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки – китайский, японский и арабский. На вопрос: “какой язык изучает каждый из них”, – один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Потом выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Задание 10. Три одноклассника – Влад, Тимур и Юра встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, третий – регби.
Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.
Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имён.
Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая
профессия?
Библиографический список
1. Логические основы работы ЭВМ. Методические указания к выполнению лабораторной работы по информатике для студентов всех специальностей дневной формы обучения / Н. Д. Белова, Н. И. Шадрина. – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та. 2011. – 16 с.
2. Вальциферов Ю. В. Информатика. Часть 1. Арифметические и логические основы ЭВМ: учеб. пособие / Ю. В. Вальциферов,
В. П. Дронов – М.: Евразийский открытый институт, 2005. – 252 с.
3. http://www.inf1.info/book/export/html/210.
4. http://www.kolomna-school7-ict.narod.ru/st20201.htm.
5. http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/436/.
6. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_13.html.
7. http://www.iiikt.narod.ru/elect/lognew/2224.htm.
8. http://ru.ask.com/web.
9. http://pedsovet.su/forum/163-3454-1.
|
|
|
10. http://infoegehelp.ru/index.php?.
11. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_6.html.
12. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_12.html.
13. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_13.html.
14. http://markx.narod.ru/bool/tabist.html.
15. http://www.inf1.info/book/export/html/210.
16. http://festival.1september.ru/articles/573898/.
Содержание
Основы логики и логические основы компьютера. 3
1. Формы мышления. 3
1.1. Логика — это наука о формах и способах мышления. 3
1.2. Понятие. 3
1.3. Высказывание. 4
1.4. Умозаключение. 5
2. Алгебра логики. 6
2.1. Логическое умножение (конъюнкция) 7
2.2. Логическое сложение (дизъюнкция) 8
2.3. Логическое отрицание (инверсия) 9
2.4. Логическое следование (импликация) 10
2.5. Логическое тождество (эквиваленция) 10
2.6. Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ». 11
3. Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении. 12
4. Логические выражения и таблицы истинности. 13
4.1. Логические выражения. 13
4.2. Таблицы истинности. 14
4.3. Равносильные логические выражения. 15
5. Построение таблиц истинности для сложных выражений. 16
6. Логические функции. 17
6.1. Логическое следование (импликация) 18
6.2. Логическое равенство (эквивалентность) 19
7. Логические законы и правила преобразования логических выражений. 20
7.1. Закон тождества. 20
7.2. Закон непротиворечия. 20
7.3. Закон исключённого третьего. 21
7.4. Закон двойного отрицания. 21
7.5. Законы де Моргана (общей инверсии) 21
7.6. Закон коммутативности (переместительный) 21
7.7. Закон ассоциативности (сочетательный) 21
7.8. Закон дистрибутивности (распределительный) 22
8. Логические элементы.. 22
8.1. Простейший логический элемент НЕ (инвертор) 23
Базовый набор операций. 24
8.2. Логический элемент И (конъюнктор) 24
8.3. Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) 25
8.4. Логический элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ». 25
9. Таблица 18 – Условные обозначения логических элементов компьютера. 26
10. Вопросы для самопроверки. 27
11. Решение логических задач. 28
11.1. Примеры решения задач. 28
11.2. Тесты.. 32
11.3. Задания. 33
Библиографический список. 35
Содержание. 36
|
|
|
