 |
Однофакторный дисперсионный анализ.
|
|
|
|
Предположим, что имеется 
выборок с объемами 
, 
, 
, и наблюдения можно представить в виде 
, где 
- номер наблюдения в выборке; 
- номер выборки; 
- групповые математические ожидания; 
- случайные ошибки с 
=0, о которых предполагается, что они независимы и одинаково расположены.
Подобная ситуация возникает, когда существует некий фактор, принимающий различных значений (называемых уровнями), и каждая группа объектов, чьи признаки мы примеряем, подвергается воздействию определенного уровня этого фактора. Методы математической статистики, изучающие воздействие одного фактора на объекты и их признаки, называют в совокупности однофакторным анализом.
Предполагается, что ошибки нормально распределены: 
. Тогда можно изучать влияние фактора, вычисляя дисперсии некоторых величин. Совокупность этих методов называют однофакторным дисперсионным анализом.
Основной гипотезой, нуждающейся в проверке, является гипотеза о равенстве групповых средних 
. Иными словами, проверяют гипотезу о том, что фактор вообще не влияет на наблюдения. В случае нормальных ошибок ее можно проверить, вычислив две разные оценки дисперсии.
Рассмотрим группу экспериментальных животных, подвергнутых ультрафиолетовому облучению. В процессе эксперимента измерялась температура тела животных. Результаты измерений были занесены в таблицу:
| № испытания | Уровень фактора А (мощность ультрафиолетового облучения) | ||
| А1 | А2 | А3 | |
| 37,4 37,3 37,0 36,9 | 37,8 37,9 37,5 37,4 | 38,0 37,9 38,4 38,3 | |
| 37,15 | 37,65 | 38,15 |
Физический фактор А (ультрафиолетовое излучение) имеет 
постоянных уровней (3 различных мощности облучения). На всех уровнях распределения случайной величины Х (температуры тела животного) предполагается нормальным, а дисперсии одинаковыми, хотя и неизвестными.
|
|
|
В данном эксперименте число проведенных наблюдений при действии каждого из уровней фактора одинаково.
Все значения величины Х, наблюдаемые при каждом фиксированном уровне фактора Аj, составляют группу, и в последней строке таблицы представлены соответствующие выборочные групповые средние, вычисленные по формуле
.
Здесь n – число испытаний, – номер столбца, - номер строки, в которой расположено данное значение случайной величины. Общая средняя арифметическая всех 
наблюдений находится как
.
Введем следующие понятия:
Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней 
, которая характеризует рассеивание «между группами» (т.е. рассеивание за счет исследуемого фактора):
,
Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней , которая характеризует рассеивание «внутри групп» (за счет случайных причин):
.
Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней :
,
Можно доказать следующее равенство:
.
С помощью 
, 
производится оценка общей, факторной и остаточной дисперсий:
,
,
.
В основе однофакторного дисперсионного анализа лежит тесная связь между различием в групповых средних и соотношением между двумя видами дисперсий – факторной, которая характеризует влияние фактора А на величину Х, и остаточной, которая характеризует влияние случайных причин. Сравнивая факторную дисперсию с остаточной по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние фактора.
Для сравнения двух дисперсий используют показатель критерия Фишера 
.
При этом при заданном уровне значимости проверяют нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии (изучаемый фактор не вызывает изменчивости признака) при конкурирующей гипотезе об их неравенстве (изучаемый фактор вызывает изменчивость признака).
|
|
|
По таблице критических значений распределения Фишера – Снедекора (см. приложение 6) при уровне значимости, равном половине заданного уровня 
, находят критическое значение 
. Здесь 
. Если 
, нулевую гипотезу считают согласующейся с результатами наблюдений. Если 
, то эту гипотезу отвергают в пользу конкурирующей.
Замечание. Если окажется, что 
, следует сделать вывод об отсутствии влияния фактора А на Х.
Если проверка покажет значимость различий между 
и 
,следует сделать вывод о существенном влиянии фактора А на Х.
Обычно для упрощенная расчетов фактурную и остаточную дисперсии рассчитывают не по экспериментальным значениям 
величины Х, а по значениям 
, где постоянная С представляет собой произвольное число, близкое к среднему значению всех результатов наблюдений.
Вернемся к нашему примеру. Вычтем из всех значений постоянное число С=37,5 близкое к общему среднему =37,51 и составим таблицу:
Общая средняя будет равна 
Определим значения 
,
Определим значения факторной и остаточной дисперсий:
,
.
Так как 
, следует проверить значимость их различия. Найдем экспериментальное значение критерия:
.
Сравним его с критическим значением распределения Фишера – Снедекора для уровня значимости 0,05 (см. приложение 6):
.
Поскольку можно утверждать, что при уровне значимости
=0,05 рассматриваемый физический фактор оказывает влияние на температуру тела животного.
Критерий Фишера указывает на влияние изучаемого фактора (если ) на изменчивость признака. Однако он не указывает на силу влияния этого фактора. В качестве показателя силы влияния фактора на изменчивость признака используют величину 
:
.
Оценим силу влияния ультрафиолетового облучения на повышение температуры тела животных:
или 80,5%
Таким образом, влияние ультрафиолетового облучения на повышение температуры тела животных составляет 80,5%, а 19,5% обусловлены случайными причинами.
|
|
|
