 |
Практическое занятие 2.1. Выражения, уравнения, неравенства.
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы
1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:
а) 42:5; б) 27; в) 32+ -):14; г) 2·7 = 7·2;
д) (17+ 13):10-15; е) 142 > 71·2; ж) 37 – 48+3 х
2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел:
а) (135+67)· 12; б) (135 - 217):2; в) 362:4?
3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:
а) 8+0,3 b; б) 21 - (4 + у); в) х + 2 у < 7; г) 32: у + 3 = 5 у?
4. Установите, какова область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел:
а) (3 - у): 64; 6) 64:(3 - у); в) (5 + х): (х - 12).
5. Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:
| Выражение | Название выражения |
| (12·5 + 3:(2+7))·18 | |
| (23 - 7·6 - 4+ 15)׃(17-6) | |
| 21 + (35·3:8 -14:5) | |
| 19 - 8:4 + 5 |
6. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 - 3 х тождественно равными на множестве:
а) {1, 2, 3, 4}; б) действительных чисел.
7. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел:
а) 3р + 5m = 5m + 3р; в) 3р · 5m = 5m · 3р;
б) 3р – 5m = 5m - 3р; г) 3р:5m = 5m:3р?
8. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:
а) 324·5 = (300+20+4) · 5 = 300· 5+20·5+4·5 = 500+100+20 = 1500+ 120 = 1620;
б) 97·12 = (100 - 3) · 12 = 100 ·12 - 3·12 = 1200 - 36 = 1100+(100 - 36) =1164;
в) 5(1-2х)+10х = 5 - 10х+10х = 5.
9. Упростите выражение путем тождественных преобразований:
а) 6(2 аb - 3) + 2 а (6 b - 5); б) (12 а - 16 b):4 - (10 а - 4 b).
10. Сравните значения выражений, не выполняя действий:
а) (30 + 56) ·5 и 30·5 + 56·5;
б)(19 + 4) ·7 и 19·7 + 10·7;
в) (14 - 7) ·6 и 16·6 - 7·6;
г) (18 - 9) ·7 и 18·7 - 11·7.
11. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:
На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?
|
|
|
12. Среди следующих записей найдите числовые равенства и неравенства:
а) 3х + 4=57:3; б) 34 - 48:12=(7 + 8) ·9; в) 39·3 + 74 - 53; г) 37 < 18; д) 3х + 4< 71; е) 65 > 344 + 148:74
13. Проверьте, истинны ли числовые равенства:
13 · 93 = 31·39, 14·82 = 41·28, 23·64 = 32·46.
Можно ли утверждать, что произведение любых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?
14. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:
а) 2 х > 2 у; в) 2 х - 7 < 2 у - 7;
б) 
< -3; г) - 2 х - 7 < - 2 у - 7?
15. Известно, что а < b — истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:
а) -3,7 а * -3,7b; б) - 
* - 
; в) 0,12 а * 0,12b;
г) -2(а + 5) * -2(b + 5); д) 
; е) 
16. Выполните задания, которые предназначаются ученикам начальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в начальном курсе математики понятия числового равенства и числового неравенства:
а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя выражения: 9 ·3, 30 - 6, 3·9, 30 - 3.
б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2 ·3 = 18; 31- 10 – 3 = 24; 54 – 12 + 8 = 34.
в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные равенства: 3 * 6 * 2 = 9; 9 * 3 * 6 = 18.
17. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:
а) (х - 3)·5 = 12 х; г) 3 + (12 - 7) ·5 = 16;
б) (х - 3)·5 = 12; д) (х - 3)· у = 12 х;
в) (х - 3) - 17 + 12; е) х 2 - 2 х + 5 = 0.
18. Уравнение 2 х 4 + 4 х 2 - 6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.
19. В уравнении (х +...)(2 х + 5) - (х - 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.
20. Сформулируйте условия, при которых:
а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g (х);
б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g (х).
|
|
|
21. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:
а) 3 + 7 х = - 4 и 2(3 + 7 х) = -8;
б) 3 + 7 х = - 4 и 6 + 7 x = -1;
в) 3 + 7 х = - 4 и х + 2 = 0.
22. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:
а) 
; б) 
в) (2 - х)2 - х (х + 1,5) = 4.
23. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, получил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на выражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод - данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?
24. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:
а) (х + 70) · 4 = 328; в) (85 х + 765):170 = 98;
б) 560: (х + 9) = 56; г) (х -13581):709 = 306.
25. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:
а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?
б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.
26. Установите, какие из следующих записей являются неравенствами с одной переменной:
а) -12 - 7 х < 3 х + 8; г) 12 х + 3(х - 2);
б) 15 (х + 2) > 4; д) 17 - 12·8;
в) 17 (13 + 8) < 14 - 9; е) 2 х 2 + 3 х - 4 > 0.
27. Является ли число 3 решением неравенства 6(2 х + 7) < 15(х + 2), х Î R? А число 4,25?
28. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:
а) -17 х < -51 и х > 3;
б) 
и 3 х - 1 > 0
в) 6 - 5 х > -4 и х < 2?
29. Какие из следующих высказываний истинны:
а) -7 х < -28 Þ х > 4;
б) х < 6 Þ х < 5;
в) х < 6 Þ х < 20?
30. Решите неравенство 3(х - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.
31. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2 х) является любое действительное число.
32. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3 (2 - х) - 2 > 5 - 3 х.
|
|
|
