Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Разложение булевой функции по переменным




Пусть s принимает значения 0 или 1, т.е. s {0, 1}.

Введем обозначение:

xs = Ø x, если s = 0, xs = x, если s = 1.

Т.е. x 0 = Ø x, x 1 = x.

Очевидно, что xs = 1, если x = s и xs = 0, если x s.

Теорема 4.5 (о разложении булевой функции по переменным).

Каждая булева функция f (x 1, x 2,..., xn) может быть представлена в виде:

f (x 1, x 2,..., xn) = f (x 1, x 2,..., xm, xm +1,..., xn) =

V x 1 s 1& x 2 s 2&...& xmsm & f (s 1, s 2,... sm, xm +1,..., xn), (4.1)

 

m n, где дизъюнкция берется по всем наборам (s 1, s 2,..., sm) (их 2 m).

Например, для m = 2, n = 4 разложение (4.1) включает в себя четыре (2 m = 22 =4) конъюнкции и имеет вид:

f (x 1, x 2, x 3, x 4) = x & x & f (0, 0, x 3, x 4) V x & x & f (0, 1, x 3, x 4) V x & x & f (1, 0, x 3, x 4) V x & x & f (1, 1, x 3, x 4) = Ø x 1x 2& f (0, 0, x 3, x 4) V Ø x 1& x 2& f (0, 1, x 3, x 4) V x 1x 2& f (1, 0, x 3, x 4) V x 1& x 2& f (1, 1, x 3, x 4).

Доказательство теоремы 4.5.

Теорема будет доказана, если показать, что равенство (4.1) выполняется для произвольного набора переменных (y 1, y 2,..., ym, ym +1,..., yn).

Подставим этот произвольный набор переменных в левую и правую части равенства (4.1).

В левой части получим f (y 1, y 2,..., yn).

Т. к. ys = 1 только, когда y = s, то среди 2 m конъюнкций y 1 s 1& y 2 s 2&...& ymsm в правой части (4.1) только одна обратится в 1 – та, в которой y 1 = s 1,…, ym = sm. Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому в правой части (4.1) получим:

y 1 y 1& y 2 y 2&...& ymym & f (y 1, y 2,..., ym, ym +1,..., yn) = f (y 1, y 2,..., yn).

Теорема 4.5 доказана.

Теорема 4.6 (о представлении булевой функции формулой в СДНФ),

Всякая булева функция f (x 1, x 2,..., xn),не равная тождественно 0, может быть представлена формулой в СДНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

При m = n получим важное следствие теоремы 4.5:

f (x 1, x 2,..., xn) = V x 1 s 1& x 2 s 2&...& xnsn, (4.2)

f (s 1, s 2,..., sn) = 1

где дизъюнкция берется по всем наборам (s 1, s 2,..., sn), на которых f = 1.

Очевидно, что разложение (4.2) есть не что иное, как СДНФ формулы f, которая содержит столько конъюнкций, сколько единиц в таблице значений f. Следовательно, СДНФ для всякой булевой функции единственна с точностью до перестановки ее дизъюнктивных членов.

Очевидно также, что для булевой функции f (x 1, x 2,..., xn), тождественно равной 0, разложение (2) не существует.

В силу изложенного для получения формулы булевой функции f (x 1, x 2,..., xn) в СДНФ можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.3. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СДНФ).

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных s 1, s 2,..., sn, для которых значение f равно 1, т. е. f (s 1, s 2,..., sn) = 1.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию x 1 s 1& x 2 s 2&...& xnsn, где xisi = xi, если si = 1 и xisixi, если si = 0, i = 1, 2,..., n.

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций. В результате получится формула данной функции в СДНФ.

Пример 4.15.

Найдем формулу в СДНФ для функции f (x 1, x 2, x 3), заданной таблицей 4.4.

1. Выберем в таблице строки, где f (x 1, x 2, x 3) =1. Это 4-ая, 5-ая. 6-ая и 8-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем конъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для четырех выбранных строк:

x 10& x 21& x 31 = Ø x 1 & x 2& x 3.

x 11& x 20& x 30 = x 1x 2x 3.

x 11& x 20& x 31 = x 1x 2& x 3 .

x 11& x 21& x 31 = x 1& x 2& x 3 .

3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций и находим СДНФ:

f (x 1, x 2, x 3) = Ø x 1& x 2& x 3V x 1x 2x 3 V x 1x 2& x 3 V x 1& x 2& x 3.

Убеждаемся, что это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.13 представлением нашей формулы в СДНФ.

Замечание. Если булева функция задана формулой в СДНФ, то, применяя алгоритм 4.3 в обратной последовательности, легко можем получить таблицу значений этой функции.

Теорема 4.7 (о представлении булевой функции формулой в СКНФ),

Всякая булева функция f (x 1, x 2,..., xn),не равная тождественно 1, может быть представлена формулой в СКНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Ø f (x 1, x 2,..., xn). В соответствии с теоремой 4.6, если она не равна тождественно 0, существует ее формула в СДНФ. Обозначим эту формулу F 1. Очевидно, условие, что функция Ø f (x 1, x 2,..., xn) не равна тождественно 0, равносильно условию, что функция f (x 1, x 2,..., xn) не равна тождественно 1. Кроме того, по закону де Моргана формула F 2 º Ø F 1 находится в СКНФ (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний). По закону двойного отрицания

F 2 º Ø F 1 º ØØ f (x 1, x 2,..., xn) º f (x 1, x 2,..., xn),

что и доказывает теорему.

Для получения формулы булевой функции f (x 1, x 2,..., xn) в СКНФ следует воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.4. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СКНФ)

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных s 1, s 2,..., sn, для которых значение f (s 1, s 2,..., sn) = 0.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию

x 1 Ø s 1V x 2Ø s 2V...V xn Ø sn, где xi Ø si = xi, если si = 0 и xi Ø si = Ø xi, если si = 1, i = 1, 2,..., n.

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций. В результате получится СКНФ.

Пример 4.16.

Найдем формулу в СКНФ для функции f (x 1, x 2, x 3), заданной таблицей 4.4.

1. Выберем в таблице строки, где f (x 1, x 2, x 3) = 0. Это 1-ая, 2-ая и 3-я и 7-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем дизъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для трех выбранных строк:

x 11V x 21V x 31 = x 1V x 2V x 3.

x 11V x 21V x 30 = x 1V x 2x 3.

x 11V x 20V x 31 = x 1x 2V x 3.

x 10V x 20V x 31 = Ø x 1x 2V x 3.

3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций и находим СКНФ:

f (x 1, x 2, x 3) = (x 1V x 2V x 3)&(x 1V x 2x 3)&(x 1x 2V x 3)&(Ø x 1x 2V x 3).

Это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.14 представлением нашей формулы в СКНФ.

Замечание. Т. к. всего строк в таблице функции 2 n, то, если число дизъюнктивных членов в СДНФ равно p, а число конъюнктивных членов в СКНФ равно q, то p + q =2 n.

Так, для функции, рассмотренной в примерах 4.15 и 4.16, n = 3, p = 4, q = 4, p + q = 8 = 23.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...