Элементы теории подобия, применяемые в моделировании

При разработке экологических моделей часто используется подход так называемого условного моделирования.

Условное моделирование - это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря определенной договоренности о смысле, приписанном этой модели. Условными являются, прежде всего, знаковые модели. Знак или символ - это искусственный образ, чисто условно обозначающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом никакого сходства.

Условными являются также образно-знаковые модели, который отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом, например схемы с указанием входов и выходов знаковым и образно-знаковым моделям относят все математические формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами (функции, уравнения, графики, таблицы, алгоритмы).

Физические величины, определяющие те или иные параметры экологических объектов, размеры единиц которых выбираются произвольно, называются основными. Единицы измерения всех остальных физических величин выражают через основные единицы и называют произвольными. Совокупность основных и произвольных единиц составляют систему единиц измерения.

Размерность - это символическое выражение величины через основные единицы, показывающие соотношение между их размерами без указания этих размеров. Величина называется безразмерной, если ее размерность равна единице.

Аналогия - это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называются аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналоговыми, называют сходственными. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависимости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии. Основное свойство аналогии состоит в возможности переноса сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключения по аналогии.

Аналоговое моделирование - это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключения по аналогии. Такое моделирование используется обычно при слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения о нем носят качественный характер.

Особое значение среди математических моделей имеют подобные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании подобия.

Модели подобия - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях сходственных уравнений.

Экологические модели

Экологометрика - часть экологической науки занимающейся разработкой и применением математических и, прежде всего, эколого-статистических методов анализа экологических процессов, обработки статистической экологической информации.

Наблюдения, проводимые над экологическими объектами, могут охватывать всю совокупность или группу объектов. В первом случае наблюдение будет называться сплошным, а во втором - выборочным.

Задача выборочного метода состоит в том, чтобы на основе знаний свойств выборки можно было сделать какие-либо утверждения о свойствах всей совокупности объектов, которую называют генеральной совокупностью.

Под генеральной совокупностью для данного объекта исследования понимается бесчисленное множество таких же объектов, которые можно считать похожими по тем или иным свойствам или характеристикам. Однако между этими похожими объектами можно также обнаружить некоторые свойства и характеристики, отличающие один объект от другого. Например, изучая воздушную среду отдельного города, в качестве генеральной совокупности можно взять всю воздушную среду планеты. В то же время при изучении содержания кислорода в воздухе мы должны учитывать высоту местности над уровнем моря и поэтому различные города можно отнести к различным группам по этому признаку.

Таким образом, совокупность объектов, которые объединены в нечто однородное по некоторым признакам и в то же время по другим признакам расчленены на группы, включающие в себя определенное число объектов, называется статистической совокупностью. При этом те признаки, по которым совокупность расчленяется на группы, называются группированными признаками, которые в свою очередь подразделяются на качественные (атрибутивные) и количественные (вариационные).

Статистические совокупности могут быть расчленены одновременно по нескольким признакам. В связи с этим различают одномерные, двумерные и многомерные статистические совокупности. Они могут также состоять из дискретных объектов и непрерывных множеств. Признаки объектов или множеств могут также принимать либо дискретные, либо непрерывные значения.

Если генеральная совокупность объектов определена, то выбранные из нее случайным образом п объектов называют случайной выборкой. Математическая статистика имеет дело только со случайными выборками. Числовые или нечисловые характеристики изучаемых объектов, полученных в результате наблюдений или измерений у каждой единицы выборки, называют статистическими данными.

Различают следующие виды отбора объектов из генеральной совокупности в выборку:

1) типический, или групповой, когда генеральная совокупность предварительно делится на типические группы (например, участки, делянки, районы);

2) серийный, или гнездовой, когда генеральная совокупность делится на серии, или гнезда;

3) механический, когда генеральную совокупность предварительно разбивают на несколько частей (или групп) и затем из каждой части отбирают в выборку по несколько объектов, представителей этих частей.

4)Исследования или измерения каких-либо свойств или характеристик отдельных объектов выборки представляются в виде статистического ряда, они могут быть дистрибутивные, вариационные, динамики, или временные.

Дистрибутивные ряды служат для разделения объектов выборки по каким-либо признакам, заранее известным, например, людей по группам крови.

Вариационные ряды показывают закономерность распределения единиц изучаемой выборки по ранжированным значениям варьирующего признака, например, пробы воздуха по содержанию пылевых частиц.

Ряды динамики (временные) показывают закономерность изменения варьирующего признака в зависимости от времени.

При статистической обработке не следует упускать из внимания экологический смысл изучаемого объекта, который всегда устанавливает границы исследования. Таким образом, выборка - группа объектов, отличающихся некоторыми особенностями:

· это часть генеральной совокупности;

· объекты в выборку отбираются в случайном порядке определенным способом;

· объекты выборки исследуются для определения характеристик самой выборки и для оценки характеристик генеральной совокупности.

Основное правило - соблюдение равной вероятности попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности, т.е. выбор должен быть совершенно случаен.

Построенные экологометрические модели требуют оценки их достоверности. При выполнении статистических исследований полученные данные тщательно анализируются на предмет удовлетворения их предположения о независимости случайных наблюдений, симметричности распределения, из которого получена выборка, равенства дисперсии ошибок, одинаковости распределения нескольких случайных величин и т.д. Все эти предположения могут рассматриваться как гипотезы, которые необходимо проверить.

Статистическая гипотеза, являющаяся утверждением о значениях параметров конкретного вероятного распределения некоторой случайной величины (например, о средней дисперсии) называется параметрической.

Статистическая гипотеза является:

а) утверждением о некоторых свойствах вероятности распределений исследуемых случайных величин, (например, симметричности распределения, совпадения функций распределения двух и более случайных величин, принадлежности выборки к данному классу вероятностного распределения);

б) независимым от вида вероятности распределения утверждением о параметрах случайных величин, например, равенстве Двух или более средних арифметических или дисперсии (при неизвестных вероятностных распределениях этих случайных величин), относится к параметрическим гипотезам. Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистических критериев.

Выдвигаемая гипотеза, которую необходимо проверить, называется нулевой и обозначается Н₀. Гипотеза, которая противопоставляется нулевой, называется альтернативной и обозначается Н₁. Выделение нулевой гипотезы состоит в том, что Н₀ обычно рассматривается как утверждение, которое более важно, если оно отвергнуто. Это основано на общем принципе, согласно которому теория должна быть отвергнута, если есть противоречащий пример, но не обязательно должна быть принята, если такого примера найти нельзя.

Если конкурирующие гипотезы Н₀ и Н₁ полностью определяют распределение случайной величины х, например значение параметра Θ равным Θ(Н₀) или Θ(Н₁), соответственно такие гипотезы называются простыми. Гипотезы называются сложными, если они не полностью определяют параметры распределения.

Таким образом, если распределение имеет всего k параметров часть которых неизвестна, то гипотеза также называется сложной. Необходимо получить критерий, с помощью которого по наблюдаемому значению х можно сделать разумный выбор между нулевой и альтернативной гипотезами. Построение критерия начинается с выбора такого множества на действительной прямой (или в n-мерном пространстве), что если случайная величина примет значение из этого множества, то принимается нулевая гипотез (Н₁ отвергается). Такое множество называют множеством принятия гипотезы (Н₀). Дополнительное множество к множеству W₀ называется множеством отклонения гипотезы Н₀(W₀), или критическим множеством.

При проверке гипотезы Н₀ против Н₁ возможны два рода ошибок. Ошибки первого рода - это ошибка, когда принимается неверная гипотеза Н₀. Вероятность ошибки первого рода принято обозначать а, она называется уровнем значимости критерия. Обычно а выбирают равным: 0,10; 0,05; 0,025 и 0,01.

Вероятность ошибки второго рода обозначают р. Вероятность дополнительного события, т.е. правильного отклонения гипотезы Н₀ называется мощностью критерия. Следовательно, мощность критерия (W_кр) равна вероятности того, что наблюдение попадает в критическую область, если оно имеет альтернативное распределение, т.е. W_кр = 1 - ß.

Необходимым условием для построения содержательных математических моделей является наличие подробной естественнонаучной информации об устройстве и механизмах функционирования биологической системы. Уравнения должны содержать количественные выражения принятых гипотез о специфических экологических процессах (рождаемости, смертности, питании и т.д.). В математическую модель закладываются биологические представления, гипотезы о кинетических свойствах процессов (скоростях роста, размножения, гибели, интенсивностях взаимодействия). Синтезируя эту информацию, модель позволяет изучить качественно и количественно пространственно-временную структуру, формирующуюся в реальной или гипотетической системе, вскрыть причинно-следственные связи.

Развитие математико-экологических моделей можно проследить по эволюции тех научных и прикладных вопросов, для ответа на которые эти модели создавались. Вопросы эти усложнялись по мере развития экологии и совершенствования методики моделирования. Если вначале сами вопросы и результаты математического моделирования представляли отвлеченный теоретический интерес, то в дальнейшем они стали носить конкретный практический характер. Значительная часть работ по моделированию природных экосистем имеет прикладной характер. Эти работы ставят перед собой практические задачи - построение прогнозов поведения во времени реальных биологических систем. Так, например, предприятие, занимающееся разведением рыб в искусственных водоемах заинтересовано в оптимальном регулировании отлова рыб, количества корма, параметров содержания водоемов и многих других, значимых для жизни и воспроизводства рыб факторов. Оно заинтересовано в привлечении экологов и их математических моделей для правильного ведения дел и получения наибольшей прибыли. Другой пример - прогнозирование развития эпидемических заболеваний. Системе здравоохранения нужно заранее планировать скорость распространения болезни, готовить запасы лекарственных препаратов, средств профилактики и защиты, медицинский персонал и проводить другие мероприятия. Этот список практических применений результатов математической экологии можно было бы продолжить.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: