Действия над комплексными числами.

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d.

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i

32) Определение производной. Производной фкц. Y=f(x) называется предел отношении приращения фкц к приращению аргумента при условии что приращение аргумента стремится к 0, если этот предел существует.

33) Механически и геометрически смысл производной y’. Пусть точка m движется не равномерно прямолинейно по некоторому пути и к моменту t+∆t проидет путь S+∆S; Uср= ∆S/∆t. О1. Скоростью точки в мом времени t называется предел котор стремиться ср скорость за промежуток ∆t при условии что ∆t стремится к 0. (мгновенная скорость точки в момент времени Х).Геом смысл доказывает существование предельного значения (при ∆х→0) угла наклона секущей.

34) Основные элемент.ф-ии. Степенные функции: y = x^a,

где а – любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.1) Показательная функция: y = a^x, где a > 0, a ≠1. Область определения – множество всех действительных чисел. 2) Логарифмическая функция: y = log_ax, где a > 0, a ≠1. Область определения: x > 0. 3) Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел. 4) Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx. Область определения x Î [-1; 1] для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x. Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. 35)Правило вычисления производных. 1.[cf(x)]’=c*f’(x);2[f(x)±g(x)]’=f(x)±g(x);3 [f(x)*g(x)]’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x); 4. [f(x)/g(x)]’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x)/g²(x); 5.[f(g(x))]’=f’(g(x))*g’(x);6.[f^(-1)(x)]= 1/f’(f^9-1)(x)).

 

36) Дифференцируемые ф-ии. Функция y=f(x) назыв дифференцируемой в данной точке х, если преращение ▲у этой фкц в точке х, соотв преращ аргумента ∆х, может быть представлено в виде ∆у=А∆х+α∆х, где А это некоторое число, независ от ∆х, а α – это фкц аргумента∆х, явл бескон малой при ∆х→0.

37) Дифференциал. В случае А/0 диф-лом ф-ии у=F(x) в данной точке х, соответствующим приращению аргумента ∆х, называют главную линейную относительно ∆х часть приращения этой ф-ии в точке х. в случае А=0 то слогаемое А∆х перестает быть главной частью приращения ∆у диференц ф-ии.

Производные и диффернциалы высших порядков.

Произв.высш.пор. Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка. Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка. По определению сама функция считается производной нулевого порядка от самой себя.

f’’(x)=[f’(x)]’;f’’’(x)=[f’’(x)];...,f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]’.f⁽⁰⁾(x)=f(x).

Относительно этих производных надо знать формулу Лейбница:

[f(x)g(x)]ⁿ= ^k_nf^(k)(x)g^(n-k)(x).

Дифф.высш.пор.

Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка. Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка. Вообще, дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала n -1-го порядка. Имеют место следующие формулы: dⁿf(x)=fⁿ(x)*dxⁿ; fⁿ(x)=dⁿf(x)/dxⁿ.

40) Правило Лопиталя Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x=x₀ и и и ∃ ,то выполняется равенство

41. Формула Тейлора и ее приложение. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x₀. Многочлен

T(x) = f(x₀) + ((f’(x₀))/1!)(x – x₀)¹ + (f ”(x₀))/2!(x – x₀)² +…+ (f ⁽ⁿ⁾(x₀))/n!(x – x₀)ⁿ

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x₀.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x₀ (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х₀,

r_n(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х₀. Тогда r_n(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х₀)ⁿ при х ® х₀. (lim (r_n(x)/(х-х₀)ⁿ) = lim [((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!)(x-x₀)] = 0 – в силу

^{Х®Хо Х®Хо}

Ограниченности f⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) в окрестности х₀.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)» T_n(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х₀)ⁿ, когда х ® х₀.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1) (1+x)^a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x² +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xⁿ,

2) e^x» 1 + x/1! + x²/2! +…+ xⁿ/n!,

3) ln(1+x)» x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n

4) sin x» x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)!,

5) cos x» 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! +…+(-1)^kx^2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хⁿ.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: