Исследование функции методом дифференциального исчисления. 1)Производная сложения функции. Теорема. Формyла Лейбница. 2)Вывод производных

Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f’(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f’’(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y,то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f’(x) называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f’(y), частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н.угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

Произв.сложн.ф-ии. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула f’(g(x))=f’(x0)*g’(t0) Теорема Лейбница. Если f непрерывна на отрезке[a;b] и Φ — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: ^b_a Формулой Лейбница - в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцировния. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница. Y=f(x) пусть ∋f’(x) ф-ия от х. если f’(x) непрерывна, то f’’(x)=9f’(x))’. f’’-производная второго порядка.Пусть n любое натуральное число. Производной порядка n от ф-ии y=f(x) называется производной от производной (n-1)ого порядка y⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]’, причем f⁽⁰⁾(x)=f(x). Замечание. Если ∋ f^(n-1)(x) на (a;b) то ∋ f^(n-1), ∋ f^(n-2), ∋ f⁰ и она непрер.на (a;b).

43. Т – ма Ролля о среднем значении.

] f(x) непрерывна на [a,b] и дифф. в (a,b),причём на концах принимает равные значения,тогда $ т. х₀Î(а,b) такая,что f’(x₀)=0.Д – во:По 2^й т – ме Вейерштрассе ф – ция f(x) достигает на [a,b]и наибольшее, и наименьшее значения.Если они достигаются на концах отрезка,то в силу равенства f(a)=f(b) будет f(x)=const=>f(й)=0.Рассм. случай,когда наим. либо наиб. знач достигается внутри отр.(для определённости – наиб.).] х₀ – та точка,в к – рой ф – ция принимает наиб. знач.Придадим аргументу х этой ф – ции приращение Δx,не вых. за пределы [a,b]. Очевидно Δу≤0.Т.к. ф – ция дифф. в т.х₀,то $ предел limΔ_x->0Δy/Δх=lim_Δx->0+0Δy/Δx= lim_Δx->0-0Δy/Δx=f’(x₀)=0*

44. Т – мы Лагранжа и Коши.Т – ма Лагранжа.] ф – ция непрерывна на [a,b]и дифф. в (а,b).Тогда $ точка х₀ в интервале (a,b)такая,что (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(x₀).Геометрически эта т – ма озн.,что на " гладкой дуге найдётся хотя бы одна точка,касательная к к – рой || хорде,стягивающей эту дугу. Т – ма Коши:] ф- ции f(x) и j(x) непрерывны на [a,b]и дифф. в (a,b),причём при всех хÎ(a,b) j’(x)≠0.Тогда $ т.х0Î(a,b) такая,что (f(b)-f(a))/(j(b)-j(a))=f’(x0)/j’(x0). При j(x)ºx переходит в т – му Лагранжа.Ясно,что j(b)-j(a)≠0,т.к. в противном случае по т – ме Ролля для j(х)$ бы точка х0Î(a,b),а это исключено. Д – во: рассм. F(x)=[f(b)-f(a)]·[j(x)-j(a)]-[j(b)-j(a)]· [f(x)-f(a)].F(x) непр. на [a,b]и дифф. в (a,b),F(a)=0 и F(b)=0,т.е. F(a)=F(b)=>ф – ция F(x) удовл. всем усл. т – мы Ролля, поэтому $т. x₀Î(a,b) такая,что F’(x₀)=0=>*

45. Правило Лопиталя для раскрытия неопр. вида[0/0](с выводом) и [¥/¥](без вывода). 1. ] ф – ции f(x) и j(x) непрерывны в нек – рой проколотой окрестности т.а,причём lim_x->af(x)=lim_x->aj(x)=0(1).] эти ф – ции дифф. в указанной окрестности,причём в этой проколотой окрестности j(х)≠0 и j’(x)≠0.]кроме того $ конечный или беск. предел lim_x->af’(x)/j’(x),тогда $ и предел lim_x->af(x)/j(x) и оба этих предела равны.Д – во:]g(x)=[f(x),если х≠а; 0,если х=а];Θ(х)=[j(х),если х≠а;0,если х=а].]ξ – произв. точка из указанной проколотой окрестности.На отрезке с концами а и ξ ф – ции g(x) и " Θ(x) удовл. всем.усл. т – мы Коши.Поэтому $ точка η такая,что (g(ξ)-g(a))/ (Θ(ξ)-j(а))=g(η)/Θ(η),т.е. f(ξ)/j(ξ)=g(η)/Θ(η).При ξ->a будет и η->a;lim_ξ->af(ξ)/j(ξ)=lim_η->ag(η)/Θ(η).* 2. ] ф – ции f(x) и j(x) непрерывны в нек – рй проколотой окрестности т.а,причём lim_x->af(x)=lim_x->aj(x)=¥.] эти ф – ции дифф. в указанной окрестности,причём в этой проколотой окрестности j(х)≠0 и j’(х)≠0. ]кроме того $ конечный или беск. предел lim_x->af’(x)/j’(x),тогда $ и предел lim_x->af(x)/j(x) и оба этих предела равны.Замечание:оба правила Лопиталя справедливы,если усл. x->a заменить на x->a+0,x->a-0,x->+¥ или x->-¥.

46. Понятие выпуклого(вогнутого) участка дифф. ф – ции.Точки перегиба гр – ка.Необх. и дост. признаки выпуклости и вогнутости гр – ка ф – ции и $ точек перегиба. ф – ция y=f(x) дифф. в (a,b).Если " точка " касательной к y=f(x) в (a,b),исключая точку касания, лежит выше[ниже] точки гр – ка с той же абсциссой,то гр – к этой ф – ции наз. выпуклым[вогнутым].+геом. опр.Точки гр – ка непр. ф – ции,отделяющие выпуклые участки гр – ка от вогнутых,наз. точками перегиба.] ф – ция y=f(x) дважды дифф. в (a,b),тогда: Необх признак выпуклости:Если гр – к ф – ции y=f(x) явл. выпуклым в (a,b),то f’’(x)≤0 при всех хÎ(a,b). Необх. признак вогнутости:Если гр – к ф – ции y=f(x) явл. вогнутым в (a,b),то f’’(x)≥0 при всех хÎ(a,b). Дост. признак выпуклости:Если f’’(x)<0 при всех xÎ(a,b),то гр – к ф – ции в (a,b) явл.выпуклым. Дост. признак вогнутости:Если f’’(x)>0 при всех xÎ(a,b),то гр – к ф – ции в (a,b) явл.вогнутым.Очевидно, х0 явл. точкой перегиба ТиТТ,К х0 явл. точкой экстремума. Необх. признак $ точки перегиба:] f(x) непрерывна в нек – рой окрестности т.х0,х0 – абсцисса точки перегиба, тогда f’’(x) не сущ. либо =0. 1й дост. признак $ точки перегиба:] ф – ция y=f(x) дважды дифф. в нек – рой окрестности т.х0 и непрерывна в т.х0.Если f’’(x) меняется с “–”на“+” или наоборот при переходе аргумента через т.х0,то х0 – абсцисса т. перегиба. 2й дост. признак $ точки перегиба:] y=f(x) трижды дифф. в нек – рой окрестности т.х0,причём f’’(x0)=0, тогда при f’’’(x0)≠0 x0 явл. абсциссой т. перегиба.