Уравнения Навье-Стокса
Очень часто при математическом моделировании природных явлений или технических задач гидро- и газодинамики используют уравнения Навье-Стокса, названные в честь французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса. Что же они собой представляют? Это уравнение движения и уравнение неразрывности. В зависимости от физической модели явления они могут иметь несколько различный вид. Так для нестационарного течения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости часто записывают в виде:
где Если умножить Ñ на скаляр j, то получится вектор Если умножить скалярно оператор набла сам на себя, то
Поэтому
Если мы внимательно рассмотрим уравнения Навье-Стокса, то обнаружим, что это уравнения (26) – (29). В указанных уравнениях f представлено проекциями ускорения свободного падения на координатные оси. В общем случае это может быть и другая массовая сила, например, инерции для жидкости в баке ракеты, летящей с ускорением. Для нестационарного течения сжимаемой жидкости уравнения Навье-Стокса принимают более сложный вид:
Уравнения Навье-Стокса содержат шесть неизвестных:
Общее решение уравнений Навье-Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор не найдено. В нахождении общего решения большая роль в настоящее время отводится приближенным численным методам, в частности, таким, как метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод контрольных объемов. Не имея пока общего решения, можно получить ряд практически важных частных решений, вводя различные упрощения. При превышении числа Рейнольдса выше некоторого критического значения аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока имеет хаотический вид (так называемая турбулентность). Для уравнений Навье-Стокса характерна исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга. В настоящий момент создано большое количество разнообразных моделей для расчёта турбулентных течений. Они отличаются друг от друга сложностью решения и точностью описания течения. Основная идея моделей сводится к предположению о существовании средней скорости потока и среднего отклонения от него: Основные из этих моделей в порядке возрастания сложности: · модель Буссинеска: уравнения Навье-Стокса преобразуются к виду, в котором добавлено влияние турбулентной вязкости.
· Модель Спаларта-Альмараса: в данной модели решается одно дополнительное уравнение переноса коэффициента турбулентной вязкости. · · · Модель напряжений Рейнольдса: в рамках осреднённых по Рейнольдсу уравнений решается 7 дополнительных уравнений для транспорта напряжений Рейнольдса. · Метод крупных вихрей: занимает промежуточное положение между моделями, использующими осреднённые уравнения Рейнольдса и DNS; решается для больших образований в жидкости; влияние вихрей меньше, чем размеры ячейки расчётной сетки, заменяется эмпирическими моделями. · Прямое численное моделирование (английская аббревиатура DNS): дополнительных уравнений нет; решаются нестационарные уравнения Навье-Стокса с очень мелким шагом по времени, на мелкой пространственной сетке. По сути не является моделью. Из-за громадного объёма информации, полученной при численном моделировании, ценность представляют средние значения потока, полученные при решении задачи с которыми могут сравниваться другие модели. Все модели имеют преимущества и недостатки. Области применения, для которых получены модельные постоянные на основе сравнения результатов расчёта с экспериментами, ограничены. Например,
Читайте также: Анализ уравнения Бернулли Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|