Метод касательных (Метод Ньютона)

Формулы метода Ньютона для систем нелинейных уравнений, как и в случае одного нелинейного уравнения, получаются посредством применения формулы Тейлора для функции в окрестности решения . Пусть нам известно некоторое (k- 1)- е приближение к решению системы (60). Поэтому решение можно представить как

(64)

где – приращение (поправка) к приближенному решению. В развернутом виде это уравнение записывается как

Разложим функцию в ряд Тейлора по малому параметру , оставив в силу малости параметра только два первых члена разложения:

. (65)

Здесь – матрица Якоби для системы уравнений

Полагая, что матрица Якоби неособенная, т.е. существует обратная матрица, разрешим уравнение (65) относительно вектора :

.

Здесь – обратная матрица матрицы Якоби.

Подставив значение приращения в уравнение (64), получаем алгоритм метода Ньютона

(66)

Здесь вместо точного решения системы (60) в левой части алгоритма (66) поставлено последующее приближение к решению, так как значение приращения получено из приближенного уравнения (65). При расчете по формуле (66) на каждом шаге итерации необходимо вычислять обратную матрицу при новых значениях . Расчеты продолжаются до выполнения условия сходимости решения, т.е. близости двух последовательных приближений

(67)

где e_V – малая величина, погрешность решения.

Этот метод обладает значительно большей скоростью сходимости, чем метод простой итерации. Для его применения необходимо, чтобы матрица Якоби была неособенной, т.е. имела обратную матрицу.

Т.о. метод Ньютона использует информацию о производных функций для определения направления движения на итерации вдоль линий касательных, построенных из начальной точки итерации, причем в качестве конечной принимается точка с координатами пересечения касательных с осями переменных.

Проиллюстрируем метод Ньютона на примере функции одной переменной Пусть уравнение имеет вид

Уравнение касательной к функции в точке :

В конечной точке итерации или

Тогда

В заключение следует отметить, что скорость сходимости итерационных методов во многом зависит от близости выбора начальных данных к решению задачи. При неудачном выборе начальных данных итерационный процесс может не сойтись.