Реальность абстрактной математики.

Первое изменение подхода, которое здесь представляется необходимым, состоит в том, чтобы разделить математическое знание на две части, существенно отличные друг от друга по своему происхождению и по своему отношению к опыту. Под первой математикой мы будем иметь в виду систему элементарных теорий, базирующихся на общезначимых интуициях. Это арифметика, евклидова геометрия и система интуитивно ясных логических норм, вовлеченных в обыденное и математическое мышление. Это та математика, о которой говорили Платон, Аристотель, Декарт и Кант. Философия математики вплоть до XIX в. опиралась исключительно на эти первичные, интуитивно ясные теории.

В XVIII в. в математику вошли неевклидовы и многомерные геометрии. В середине XIX в. оформились в качестве завершенных дисциплин проективная геометрия, теория групп и теория множеств. Быстро совершенствовался и дифференцировался математический анализ, в особенности в его приложениях к математической физике, что привело к появлению математической теории поля, векторного и тензорного исчислений. Во второй половине века началось интенсивное развитие функционального анализа. Математики хорошо осознали тот факт, что традиционные теории более не играют главной роли в приложениях математики и не находятся в зоне ее интенсивного развития. Математика изменила свою структуру. Можно сказать, что традиционная математика окружила себя широким кольцом новых математических теорий, выходящих за ее пределы как по своему содержанию, так и по своим методам. Интуитивная ясность принципов математики утратила свое значение.

Можем ли мы говорить о реальности новой математики в том же смысле, в котором Платон и Лейбниц говорили о реальности арифметики и евклидовой геометрии? Очевидно, что для утвердительного ответа на эти вопросы нет оснований. Новые математические теории не строятся на интуитивно ясных принципах и по условиям своего зарождения они не могут претендовать на описание мира в каком-либо смысле. Лобачевский ясно осознавал то положение, что его новая геометрия может и не иметь никакого отношения к реальности. «Очень вероятно, – писал он, – что евклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными» [Лобачевский 1951, 209]. То же самое говорил и Кантор о своей теории множеств: он видел в ней не транзиентную (внешнюю), а только имманентную истинность, заключающуюся в логической непротиворечивости [Кантор 1985, 79–80]. Новые математические теории строились преимущественно из логических соображений. Это особенно видно по исследованиям в области геометрии. Исходя из принципа построения неевклидовых геометрий, Д. Гильберт построил недезаргову и непаскалеву геометрии. Ясно, что такое чисто логическое расширение математического знания не содержит в себе никакой гарантии его реальности. Если исходные представления геометрии мы можем каким-то образом соединить с реальностью, то ничего подобного нельзя сказать о неевклидовых, недезарговых и непаскалевых геометриях. Ясно, что вторая (абстрактная) математика удалена от реальности гораздо больше, чем первая.

История математики показывает, однако, что некоторая связь абстрактной математики с реальностью в действительности существует. Мы имеем здесь дело с явлением математического предвосхищения, которое состоит в том, что абстрактные математические теории, появившиеся из логических соображений, находят впоследствии физическую реализацию. В статье о Кеплере А. Эйнштейн писал: «Еще в древности люди придумали кривые, которые соответствуют простейшим законам. Наряду с прямой и окружностью среди них были эллипс и гипербола. Последние мы видим реализованными в орбитах небесных тел… Представляется, что человеческий разум должен свободно строить формы, прежде чем подтвердится их действительное существование» [Эйнштейн 1967, 123–124]. На эту закономерность как важную для понимания математического мышления указывал Н. Бурбаки в своей статье «Архитектура математики»: для изучения современной физики требуются разделы математики, которые не были изобретены с целью приложения к экспериментальным наукам [Бурбаки 1963, 258].

Философия математики не выработала однозначного объяснения математического предвосхищения, и мы также не будем здесь останавливаться на этой проблеме. Мы примем указанную взаимосвязь физики и абстрактной математики как факт и попытаемся на этой основе понять приложимость понятия реальность к теориям абстрактной математики. Если бы абстрактная математика не имела указанной тенденции к приложениям, мы могли бы говорить о ней как о системе чисто логических структур, находящихся вне поля понятийных систем, имеющих реальную значимость. Явление математического предвосхищения, однако, дает нам некоторое основание говорить о реальности этих структур. Мы можем утверждать, что абстрактная математика связана с реальностью в том плане, что она является вероятной схемой внутренних связей будущей теоретической науки. Реальность абстрактных математических теорий состоит в наличии определенной положительной вероятности их эмпирической интерпретации.

Такое понимание реальности абстрактной математики является отрицательным в том смысле, что мы приписываем абстрактной математике только возможную эмпирическую значимость и отрицаем ее метафизическую значимость. Она понимается только как система фикций, полезная для систематизации некоторого опыта.

Можем ли мы это понимание реальности перенести на первую математику? Очевидно, что нет. Платон делал заключение о реальности геометрии, конечно, не из факта ее приложений, не из ее связи с физикой или с каким-либо опытом вообще. Представление о реальности евклидовой геометрии возникает из факта ее предельной интуитивной ясности. Мы осознаем, что в арифметике и в евклидовой геометрии мы имеем дело с некоторой фундаментальной онтологией мира, что сами эти структуры есть некоторая картина мира, выраженная в форме строгих законов. Мы приписываем первой математике не случайную эмпирическую значимость, а значимость метафизическую, которой не имеет абстрактная математика.

Но это значит, что подлинная проблема реальности математики состоит в прояснении реальности первичной математики, а именно: арифметики и евклидовой геометрии. Здесь мы имеем дело с реальностью, которая не сводится к возможности приложений или эмпирической интерпретации, а так сказать, просвечивает в самих исходных интуициях. Мы снова возвращаемся к идее платонизма и к необходимости его гносеологического прояснения.