 |
Критические замечания к современным подходам
|
|
|
|
Реалистическая установка в современной философии математики возродилась в 30-х – 40-х годах прошлого века в связи с провалом программ обоснования математики. Все программы обоснования ставили своей задачей обосновать бесконечное (теорию множеств) на основе конечного, а именно на основе арифметики и логики. Теоремы Геделя показали, что эта стратегия бесперспективна. Если математика и может быть логически обоснована, то сама база обоснования уже должна содержать в себе понятие бесконечности, оправданное прямой ссылкой на реальность. Известные высказывания Геделя о реальной основе множеств и классов намечали именно эту идею прямого оправдания аксиом теории множеств.
Изложенные здесь соображения позволяют понять несостоятельность этого замысла. Если мы можем привлечь соображения о реальности для обоснования надежности математической теории, то это может быть сделано только в отношении первичных теорий, таких как логика, арифметика и евклидова геометрия. Теория множеств как теория второй (абстрактной) математики не может быть поставлена в связь с универсальной онтологией и не может быть обоснована в рамках философии реализма. Заблуждение современного математического реализма состоит в стремлении приложить понятие реальности к вторичным теориям, таким как комплексный анализ, теория групп и теория множеств.
Показательной в этом отношении является книга П. Медди «Платонизм в математике», которая ставит своей задачей выявить реальные основания понятия множества, и соответственно, реальные основания теории множеств в целом [Медди 1990]. Основная идея, из которой она исходит, состоит в том, что понятие математического множества возникает в процессе восприятия реальных агрегатов вещей при особой направленности процесса восприятия. По ее мнению, наряду с эмпирическим восприятием существует некоторый его аналог (имеющий основание в устройстве нервной системы), который приводит к образованию специфической математической абстракции (например, числа «три» при рассмотрении трех яиц, лежащих на столе). Фактически здесь делается попытка понять расщепление факта и эйдоса через натуралистический анализ процесса восприятия. Спорный момент в подходе Медди состоит в попытке вскрыть реальные основания такой математической теории, как теория множеств. Свойства априорности и реальности (онтологической значимости), как мы выяснили, принадлежат лишь исходным математическим теориям, таким как арифметика и евклидова геометрия, непосредственно связанным со структурами практики. Хотя в понятиях теории множеств присутствуют интуиции элементарной математики, она включает в себя и чисто конвенциональные отношения, не поддающиеся реалистической интерпретации.
|
|
|
Незаконное перенесение реализма из традиционных областей математики в современные области мы видим в трактовке математического реализма в книге Р. Пенроуза «Новый ум короля». Обсуждая проблему реальности в математике, Пенроуз ставит вопрос следующим образом: являются ли математические теории фикциями, изобретениями человеческого ума, или они открываются нами как предсуществующие? [Пенроуз 2003, 88]. Примеры, которые он рассматривает для подтверждения своей реалистической позиции, показывают что в действительности речь идет у него не о реальной (метафизической) подоснове математических объектов, но об их объективной определенности в системе математического знания. Множества Мандельброта, о которых у него идет речь, конечно, объективно определены операциями с комплексными числами, но мы не можем им, в отличие от арифметики и евклидовой геометрии, приписать реальную (метафизическую) значимость. То обстоятельство, что множества Мандельброта открываются нами, не говорит о том, что они реальны. Вместе с Поппером мы можем думать, что эти множества уже определены нами в своих свойствах вместе с принятием комплексных чисел как некоторых конвенций или конструкций. Пенроуз говорит в действительности не о реальности объектов, но об их объективности, об их необходимости во внутренней структуре математического знания. Все объекты второй (абстрактной) математики, несомненно, объективны в этом смысле, но это не означает, что они реальны. Мы можем говорить только об эмпирической реальности этих теорий, которая проявляет себя как вероятная возможность их превращения в аппарат описания для эмпирических наук. Теория комплексных чисел, конечно, реальна в этом эмпирическом смысле, но мы не имеем оснований приписывать ей статус метафизической реальности.
|
|
|
Наиболее близкой к истине является праксеологическая позиция Г. Динглера. Он прав в том, что образы прямой и плоскости как база геометрии не случайны, но связаны с практическим вмешательством человека в отношения реального мира. Динглер ясно осознал то важнейшее обстоятельство, что понятие реальности в действительности определяется деятельностью, т.е. практическим вмешательством человека в процессы природы. Эта позиция дает ему критерий для различения объективных и реальных теорий математики. Только евклидова геометрия реальна, все остальные геометрии – лишь формальные конструкции, которые способны выполнять роль установления функциональных связей в эмпирической науке. Недостаток теории Динглера состоит в том, что она не разделяет механических и онтологических идеализаций и пытается понять геометрические понятия в качестве конвенций, обусловленных физическим экспериментом. Дефекты теории Динглера можно выразить в следующих положениях:
1. Манипуляции с твердыми телами в плане их изготовления – слишком узкая база для обоснования априорности математики. В лучшем случае мы намечаем здесь подход к обоснованию априори в геометрии, оставляя в стороне вопрос об априорности категорий, логики и арифметики. Но обоснование априорности математики без обоснования априорности форм мышления вообще представляется бесперспективным.
|
|
|
2. Динглер прав в том допущении, что в основе исходных геометрических представлений лежит представление о твердом теле. Но твердое тело существует как физическая идеализация и как онтологическое представление, обусловленное исключительно актами деятельности. Евклидова геометрия возникает не на основе физических идеализаций, как думает Динглер, а на основе онтологических представлений об объекте действия, которые предшествуют физике и всякой специальной науке. Первичные образы геометрии обусловлены установками деятельности и не имеют никакого отношения к физическим идеализациям и к физическому эксперименту.
3. Априорное у Динглера смешивается с конвенциональным. Выбор плоскости в качестве исходного образа обусловлен, по его мнению, возможностью ее практической реализации. В другом мире или при некоторых других технических возможностях – здесь мог бы быть другой образ и другая система геометрии. С праксеологической точки зрения система исходных представлений геометрии обусловлена только деятельностной ориентацией мышления и не имеет отношения к возможности технической реализации. Прямая и плоскость – не конвенции, определенные привходящими обстоятельствами, а онтологические идеализации, обусловленные только целью мышления, его направленностью на действие.
Тем не менее важно подчеркнуть оригинальность и значимость теории Динглера. Заслуга Динглера состоит в том, что он понял связь геометрической реальности с практической стороной человеческого бытия. Мы имеем здесь принципиальный сдвиг в понимании математической реальности, который должен быть исходным при всех подходах к разъяснению этого понятия.
7. Заключительные замечания
Математики всегда осознавали фундаментальность арифметики и евклидовой геометрии как основания математической науки и как нормативного основания человеческого мышления вообще. Платон, Декарт, Лейбниц, Кант, Гуссерль в своих философских построениях исходили из твердой веры в абсолютность исходных математических представлений. Приведенные соображения показывают, что эта вера имеет объективные основания, она обусловлено онтологическими истоками этих структур, связью их содержания с подразделениями реальности, выявляемыми деятельностью.
|
|
|
Мы выяснили, что математика разделяется на два типа теорий и вопрос о реальности решается по-разному для каждого из этих типов. Если мы говорим о абстрактных теориях математики, то мы можем понимать их как чистые (формальные) схемы, имеющие определенный шанс получить эмпирическую интерпретацию и реализацию в некоторой прикладной сфере. Реальность этих теорий чисто эмпирическая и случайная, она состоит в возможности их содержательной интерпретации. По отношению к этим теориям Поппер прав: это общезначимые человеческие конструкции, граждане третьего мира, которые могут оказаться значимыми для тех или других областей эмпирического знания. Здесь не стоит вопрос о необходимой связи с реальностью: некоторые из этих структур могут оказаться чисто фиктивными, не имеющими коррелята. Попытки найти фундаментальную реальность, заключенную в понятиях класса, множества, функции и т.п., которые предпринимаются в современных работах по философии математики, представляются с этой точки зрения бесперспективными, не имеющим оправдания в сути абстрактной математики
Но если мы говорим о первичной (евклидианской) математике, то ее отношение к реальности совершенно иное. Интуиции евклидианской математики укоренены в структурах человеческой деятельности и представляют собой фундаментальную онтологию мира. Они априорны, необходимы для мышления и реальны в своей основе. Причем реальность должна пониматься здесь не как возможность эмпирической интерпретации, как в случае абстрактных структур, а как укорененность исходных интуиций в структурах деятельности, т.е в фундаментальных структурах бытия, выявляемых деятельностью. Евклидианская математика – это формальная онтология мира, отражающая содержательную онтологию, выраженную в категориях и категориальных основоположениях. Евклидианская математика априорна и фундаментально реальна, как определенная в своих интуициях основными структурами реальности, выявляемыми деятельностью.
Наша задача состояла в том, чтобы обосновать априорное знание как знание деятельностное, и следовательно, как фундаментально реальное. Мы должны, таким образом, от априоризма Канта возвратиться к априоризму Лейбница, для которого априорные истины были одновременно и универсальными сторонами реальности. Лейбниц хотел обосновать факт наличия таких истин в сознании человека через связь человека с богом как монадой всех монад. С праксеологической точки зрения эти истины порождаются деятельностью и отражают стороны реальности, обусловливающие возможность деятельности. Арифметика и евклидова геометрия – не абстракции опыта и не системы конвенций, а необходимые структуры сознания, обусловленные деятельностной ориентацией мышления.
|
|
|
В конце XIX в. математики поняли свою науку как систему абстрактных структур, полезных для эмпирических теорий в качестве средства трансляции истинности. Все математические теории, с этой точки зрения, независимо от их содержания и степени интуитивности аксиом становятся совершенно равноправными, просто непротиворечивыми структурами, способными в процессе приложения обеспечивать переход от истинных суждений к истинным. Дискуссии относительно того, существуют ли неевклидовы и многомерные геометрии в реальности, которые долгое время занимали философов, отпали как не имеющие смысла. Вопрос о реальности в смысле Платона тоже как будто бы утратил значение. Но проблема обоснования математики, возникшая в начале ХХ в., заставила снова провести некоторое внутреннее деление между математическими теориями. Фреге, Рассел, Брауэр и Гильберт поняли, что для обоснования второй математики (математического анализа и теории множеств) нам придется опираться на первую математику как более надежную. Но что означает эта большая надежность? Мы снова пришли к проблеме выявления реальной математики как более фундаментальной и более надежной.
Приведенные здесь соображения показывают возможность некоторого концептуального продвижения в понимании математического реализма. Мы приходим к осознанию того факта, что логика, арифметика и евклидова геометрия – не простые непротиворечивые математические структуры, а структуры, имеющие онтологический фундамент. Это структуры, необходимые для всякого мышления, структуры априорные и одновременно фундаментально реальные. Мы не решаем здесь вопроса о том, являются ли эти структуры непреходящими или вневременными. Но в любом случае ясно, что структуры евклидианской математики – это предельно надежные структуры математики, и если логическое обоснование математики в принципе возможно, то оно по необходимости должно опираться на эти структуры.
|
|
|
