Конспект лекции. Основные представления квантовой механики.. Постулаты квантовой механики.

Конспект лекции

Основные представления квантовой механики.

Квантовая механика – теория, устанавливающая способ описания законов движения микрочастиц, а также связь величин характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

   К основным понятиям квантовой механики относится, принцип неопределенности.

Δ рּ Δ х ≥ h∕ 2

где под неопределенностями Δ р  и Δ х  понимаются среднеквадратичные отклонения импульса р = mv и координаты от их средних значений.

  Физическая интерпретация этого соотношения заключается в том, что не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения.

   Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной функцией координат Ψ (q), называемой волновой функцией системы. Волновая функция имеет вероятностный характер, квадрат модуля волновой функции дает значение вероятностей тех величин, от которых зависит волновая функция. | Ψ (x, y, z, t)|² есть вероятность нахождения частицы в момент времени t в точке пространства с координатами x, y, z. Совокупность вероятностей нахождения частицы в некоторой конечной области пространства называется плотностью вероятности.

   Волновая функция должна удовлетворять условиям однозначности, конечности и непрерывности во всем пространстве переменных. Она должна быть, как минимум дважды дифференцируема. Кроме того, сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице, т. е.

∫ |Ψ |²dq = ∫ Ψ Ψ ^*dq=1

  Здесь Ψ ^*-функция, комплексно сопряженная с Ψ. Это равенство представляет собой условие нормировки.

  Волновая функция дает максимально полное описание квантовой системы, т. е. значение Ψ позволяет вычислить набор динамических переменных. Это достигается некоторым действием на волновую функцию. Описание действия на волновую функцию требует введения понятия оператора – одного из важных понятий математического аппарата квантовой механики.

Оператор.

       Оператор Â есть закон, по которому одной функции f ставится в соответствие другая функция g.

 f = g

Свойства операторов.

    1. Сумма и разность двух операторов Â и Ĉ :

(Â + Ĉ ) f= Â f + Ĉ f

(Â − Ĉ ) f= Â f − Ĉ f

    2. Произведение операторов:

 Ĉ f=  (Ĉ f)

    3. Коммутатором называют оператор, составленный из двух операторов Â и Ĉ следующим образом:

Ŝ =[Â, Ĉ ]≡ Â Ĉ − Ĉ Â =0

    4. Для операторов выполняется ассоциативный закон:

 (Ĉ Ŝ )=( Ĉ )Ŝ

     5. Степень оператора Â ⁿ представляет собой n последовательных приемов использования оператора Â , например         Â ³= Â Â Â f.      

     6. Экспонента оператора e ^Â определяется рядом:

e ^Â =1+Â +Â ²/2! + Â ^3/3! +…

     7. Линейные операторы, удовлетворяют следующим правилам

 (f + g)=  f + g

 (сf)= с f

 (сf +d g)= с f +d g

с и d – коэффициенты.

Собственные функции и собственные значения.

     Собственной функцией оператора Â является такая функция f, что при действии Â на нее получается снова функция f, умноженная на постоянное число

 f = kf,

где k – называется собственным значением оператора Â. Если

Â Ψ =аΨ,

то ожидаемое значение физической величины < A> определяется как

< A> = ∫ Ψ ^*(q) Â Ψ (q) dq= ∫ Ψ ^*(q) а Ψ (q) dq= а ∫ Ψ ^*(q)Ψ (q) dq=

=а ∫ |Ψ |²dq=а.

Самосопряженный или эрмитов оператор – оператор, для которого справедливо соотношение:

∫ f ^*Â g dq = ∫ g(Â ^* f ^*) dq,

где Â ^* получается из Â заменой знака перед мнимой частью. Эрмитовы операторы обладают замечательным свойством: их собственные значения всегда действительны.

 

Постулаты квантовой механики.

Операторы основных физических величин.

  В квантовой механике операторы различных физических величин задаются с помощью операторов координат и импульсов. Оператор координаты есть просто координата, и его действие на любую функцию заключается в умножении ее на вектор r, определяемый координатами x, y и z, т. е.

r^ f = r f

   Оператор импульса р определяется через операторы его проекций (например, на декартовы оси координат):

p^=– ihÑ = –ih[ i ∂ ∕ ∂ х+ j ∂ ∕ ∂ у+ k ∂ ∕ ∂ z ]

   Оператор полной энергии Ĥ (оператор Гамильтона) сумма операторов кинетической и потенциальной энергий, для одноэлектронного атома

Ĥ =T^+T^= –ћ²/2m_e∆ – Ze²/r^.

Где ∆ ≡ Ñ ²=∂ ²∕ ∂ х²+∂ ²∕ ∂ у²+∂ ²∕ ∂ z² – оператор Лапласа.

         Постулат 1. О волновой функции.

         Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией Ψ (q₁, q₂, … q_n, t) от координат всех образующих систему частиц и времени, называемой функцией состояния системы или ее волновой функцией.

    Постулат 2. О способе описания физических величин.

         Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т. д. ) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами.

     Постулат 3. Об основном уравнении квантовой механики.

          Функция состояния должна удовлетворять уравнению

Ĥ ( р, q, t ) Ψ (q, t)= ih∂ ∕ ∂ t Ψ (q, t)

     Это уравнение не может быть выведено, оно постулировано Шредингером (1926).

     Если гамильтониан не зависит от времени, тогда волновую функцию Ψ (q, t) можно представить в виде произведения координатной Ψ (q, t)) и временной Ф(t) частей: Ψ (q, t)= Ψ (q, t) Ф(t), получая стационарное уравнение Шредингера:

Ĥ Ψ ( q )=Ε Ψ ( q)

     Постулат 4. О возможных значениях физических величин.

     Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении динамической переменной А, являются собственные значения Â операторного уравнения

Â Ψ _i=А Ψ _i

          Постулат 5. О среднем значении физической величины.

          Среднее значение физической величины < А> , имеющий квантово - механический оператор Â, в состоянии Ψ определяется соотношением

< А> ≡ Аˉ = ∫ Ψ ^*(q) Â Ψ (q) dq=< ‌ ‌ ‌ ‌ Ψ ׀ Â ׀ Ψ > ‌ ‌

          Постулат 6. Принцип суперпозиции.

     Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ ₁ и Ψ ₂, то она может находиться и в состоянии

Ψ =С₁ Ψ ₁ + С₂ Ψ ₂,

где С₁ и С₂ – произвольные константы, которые при условии ортонормированности Ψ ₁ и Ψ ₂ находятся из соотношения

С_i = ∫ Ψ ^*Ψ _i dq

          Этот постулат известен под названием принципа суперпозиции. Из постулата следует, что функция Ψ описывает такое состояние, при котором система находится либо в состоянии Ψ ₁ с вероятностью равной С₁², либо в состоянии Ψ ₂ с вероятностью С₂².

      Постулат 7. Об антисимметричности волновой функции.

      Волновая функция системы частиц с полуцелым спином должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц.

Ψ (q_1, q_2, … q_i, … q_j, … q_n)= - Ψ (q_1, q_2, … q_j, … q_i, … q_n)

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: