Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Определение количества информации




 

С точки зрения диагностики, важно определять не саму энтропию системы, а то количество информации, которое приобретается о состоянии системы в результате измерения некоторого комплекса (набора, вектора) признаков.

Рассмотрим следующий пример. Пусть объектом диагностики является маслосистема, которая может находиться либо в исправном А1, либо в неисправном А2 состояниях. Для диагностирования системы проводятся измерение температуры tм или давления Рм масла.

Очевидно, что до выполнения измерений дать ответ о состоянии системы весьма затруднительно. Можно предположить, что исправное и неисправное состояния являются равновероятными, т.е. Р(А1) = Р(А2) = 0,5. Таким образом, с учетом изложенного выше, можно определить начальную энтропию системы до проведения измерений Ннач(А), которая равна

.

Пусть для температуры предельное значение составляет 90°С. Из опыта эксплуатации установлено, что при температуре масла tм < 90°C в 60% случаев масляная система находится в исправном состоянии, т.е. при tм < 90°С Р(А1) = 0,6, а Р(А2) = 0,4. Следовательно, если в процессе измерения установлено, что температура масла меньше 90°С, то энтропия системы равна

.

Количество информации о состоянии системы А, которое мы получили по результатам измерения температуры IA(tм) , определим как разность начальной энтропии Hнач(а) и значения энтропии, которую имела система после измерения температуры Нt(А):

Ia(tм)

Для этой же системы известно, что если давление масла в системе превышает две атмосферы, то вероятность нахождения системы в исправном состоянии равна единице, а в неисправном – нулю, т.е. при Рм > 2 атм P(A1) = 1, а Р(А2) = 0. Поэтому если в процессе измерения установлено, что давление масла в системе превышает две атмосферы, то энтропия системы равна

НР(А) = –1 log21 – 0 log2 0 = 0.

Как и в предыдущем случае, количество информации о состоянии системы А, которое мы получили по результатам измерения давления IА(Рм), определим как разность начальной энтропии Hнач(A) и значения энтропии, которую имела система после измерения давления HР(А):

В общем случае задача определения количества информации ставится таким образом. Пусть имеется система (объект диагностики) А, которая может находиться в одном из состояний Ai (где i = 1...N). В каждом из этих состояний объект может находиться с определенной вероятностью P(Ai). С этим объектом связан комплекс (система, вектор) диагностических признаков К. Этот комплекс (вектор) задается своими компонентами (координатами), число которых равно n. Другими словами, объект диагностики описывается в n-мерном пространстве диагностических признаков. В процессе диагностирования, после проведения соответствующих измерений и обработки диагностических параметров, определяются конкретные значения (реализации) диагностических признаков по всем n координатам. В свою очередь, этот комплекс, состоящий из n реализаций диагностических признаков, определяет некоторую j-ю реализацию вектора диагностических признаков Kj, принадлежащую множеству К. Математически эти рассуждения можно записать следующим образом:

,

где К* – экспериментально полученная реализация вектора диагностических признаков К; Kj – экспериментально полученная конкретная j-я реализация вектора диагностических признаков; Кjs – экспериментально полученная реализация диагностического признака по s-й координате, соответствующая j-й реализации вектора диагностических признаков Кj; s = 1, ..., n; j = 1, ..., m.

В диагностическом смысле задача оценки количества информации формулируется так: необходимо определить количество информации, которое получается о состоянии системы А, после измерения всех реализаций вектора диагностических признаков, входящих во множество К. В такой постановке количество информации записывается следующим образом:

(4.2)

где – начальная энтропия объекта диагностики, которая определяется по априорным данным; Н(А/К)энтропия системы А после того, как стали известны все реализации вектора диагностических признаков из множества К.

Вычисление начальной энтропии при известных вероятностях Р(Аi) не вызывает затруднений. Рассмотрим второй член в правой части выражения (4.2), который называется условной энтропией. Эта условная энтропия вычисляется таким же образом, как и начальная энтропия, только вместо вероятности появления события Аi подставляется условная вероятность нахождения системы в состоянии Аi при наблюдении всех реализаций вектора признаков Kj из множества К, т.е.

где Р(Ai / Kj) – условная вероятность нахождения объекта диагностирования в состоянии Аi при условии, что вектор диагностических параметров получит реализацию Kj; i = 1...N – номер технического состояния (диагноза); j = 1...m – номер реализации вектора диагностических признаков.

После подстановки начальной и условной энтропии в выражение (4.2) и соответствующих преобразований выражение для количества информации, получаемого при обследовании всех диагнозов Аi по всем реализациям вектора диагностических признаков Kj, будет иметь вид

(4.3)

где P(Kj / Ai) – условная вероятность появления j-й реализации вектора признаков Кj при нахождении системы в Аi состоянии; Р(Кj) – вероятность появления j-й реализации вектора признаков Кj при нахождении объекта диагностики во всех возможных состояниях.

Используя известные из теории вероятностей соотношения между вероятностями совместного появления событий и условными вероятностями появления событий:

,

выражение (4.3) для количества информации можно представить в другом виде:

(4.4)

или

(4.5)

где Р(Ai / Kj) – вероятность нахождения объекта в диагнозе Аi при условии, что в ходе процесса диагностирования была получена реализация вектора диагностических признаков Кj; P(Ai, Kj) – вероятность совместного появления следующих событий: нахождение объекта в диагнозе Аi и получение в процессе диагностирования реализации диагностических признаков Кj.

При анализе выражения (4.5) можно сделать вывод, способствующий физическому пониманию расчетных формул, предназначенных для оценки величины получаемой информации. Так, если система признаков выбрана неправильно, то она оказывается не связана с техническим состоянием. Говоря по-другому, все диагнозы объекта и все реализации векторов диагностических признаков являются независимыми событиями, т.е. P(Ai, Kj) = P(Ai)P(Kj). Тогда, как следует из выражения (4.5), IA(K) = 0. Следовательно, в такой ситуации знание диагностических признаков не дает никакой информации о техническом состоянии объекта диагностики.

При необходимости определить количество информации, получаемое об отдельном состоянии Аi при обследовании по всем реализациям вектора признаков Kj, в предыдущих выражениях необходимо опустить суммирование по i (i = 1...N). Тогда мы получим три выражения для определения IАi (K):

(4.6)

или

(4.7)

(4.8)

Если необходимо определить количество информации IАi (Кj), которое получают о состоянии системы Ai при измерении в процессе диагностирования конкретной реализации вектора диагностических признаков Кj, то в предыдущих выражениях надо вообще опустить суммирование:

(4.9)

или

(4.10)

или

(4.11)

Итак, последние выражения для IAi(Kj) определяют ожидаемое количество информации о состоянии Ai, получаемое при появлении в ходе процесса диагностирования конкретной реализации вектора диагностических признаков Кj.

В общей постановке вектор диагностических признаков может содержать любое число компонент, т.е. объект диагностирования может быть определен в пространстве диагностических признаков любой размерности. Следовательно, количество диагностических признаков, являющихся компонентами вектора, может изменяться от одного до бесконечности. Поэтому полученные выражения могут быть применены и к случаю, когда вектор диагностических признаков содержит только один компонент, т.е. Kj = kj . Тогда, если в выражениях (4.9), (4.10) и (4.11) заменить Kj на kj, то они будут определять количество информации, получаемое о состоянии Аj при обследовании по конкретному признаку kj.

 





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2022 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.