Представление числовой информации

В ЭВМ используются три вида чисел: с фиксированной точкой (за­пятой), с плавающей точкой (запятой) и двоично-десятичное представле­ние. Точка (запятая) — это подразумеваемая граница целой и дробной частей числа.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предпола­гается строго определенное место точки (запятой). Обычно это мес­то определяется или перед первой значащей цифрой числа, или после последней значащей цифры числа. Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю мень­ше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется нера­венством

2-ⁿ £ | A₂ | £ 1-2^-n

Если точка фиксируется после последней значащей цифры, то это означает, что n-разрядные двоичные числа являются целыми. Диапа­зон изменения их значений составляет:

0 £ | A₂ | £ 2^-n -1

Перед самым старшим из возможных разрядов двоичного числа фиксируется его знак. Положительные числа имеют нулевое значе­ние знакового разряда, отрицательные — единичное.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Числа с плавающей точ­кой представляются в виде мантиссы т_а и порядка р_а, иногда это представление называют полулогарифмической формой числа. На­пример, число A₁₀= 373 можно представить в виде 0.373 • 10³, при этом т_а- 0.373, р_а= 3, основание системы счисления подразумевается фик­сированным и равным десяти. Для двоичных чисел А₂ в этом пред­ставлении также формируется мантисса т_а и порядок р_а при основа­нии системы счисления, равном двум:

что соответствует записи

Порядок числа р_а определяет положение точки (запятой) в двоич­ном числе. Значение порядка лежит в диапазоне -p_a^max £ p_a £ p_a^max, где величина p_a^max определяется числом разрядов r, отведенных для пред­ставления порядка

Положительные и отрицательные значения порядка значительно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих со­временных ЭВМ используют не прямое значение р_а, а модифициро­ванное р'_а, приведенное к интервалу

Значение р'_а носит название «характеристики числа».

Обычно под порядок (модифицированный порядок — характерис­тику) выделяют один байт. Старший разряд характеристики отводится под знак числа, а семь оставшихся разрядов обеспечивают изменение порядка в диапазоне

Модифицированный порядок р'_а вычисляется по зависимости

Этим самым значения р'_а формируются в диапазоне положительных чисел

Мантисса числа т_а представляется двоичным числом, у которого точка фиксируется перед старшим разрядом, т. е.

где k — число разрядов, отведенных для представления мантиссы. Если

то старший значащий разряд мантиссы в системе счисления с основа­нием N отличен от нуля. Такое число называется нормализованным. Например, А₂= (100;0.101101)₂ — нормализованное число А₂= 1011.01 или 4₁₀⁼ 11,25, а то же самое число А₂= (101;0.0101101) — число не­нормализованное, так как старший разряд мантиссы равен нулю.

Диапазон представления нормализованных чисел с плавающей точкой определяется так:

где rnk — соответственно количество разрядов, используемых для представ­ления порядка и мантиссы.

Третья форма представления двоичных чисел — двоично-десятичная. Ее появление объясняется следующим. При обработке больших масси­вов десятичных чисел (например, больших экономических документов) приходится тратить много времени на перевод этих чисел из десятичной системы счисления в двоичную для последующей обработки и обратно — для вывода результатов. Каждый такой перевод требует выполнения двух — четырех десятков машинных команд. С включением в состав от­дельных ЭВМ специальных функциональных блоков или спецпроцессо­ров десятичной арифметики появляется возможность обрабатывать де­сятичные числа напрямую, без их преобразования, что сокращает время вычислений. При этом каждая цифра десятичного числа представляется двоичной тетрадой. Например, A₁₀ =3759, A_2-10 = 001101110101 1001. По­ложение десятичной точки (запятой), отделяющей целую часть от дроб­ной, обычно заранее фиксируется. Значение знака числа отмечается ко­дом, отличным от кодов цифр. Например, знак «+» имеет значение тет­рады «1100», а знак «-» — «1101».