Определение ДС, классификация

ДС формально определена, если заданы три следующих элемента:

1) множество состояний X, образующее полное метрическое пространство (фазовое пространство);

2) множество моментов времени Θ;

3) оператор эволюции Т ₀^t некоторое отображение Т ₀^t: X → X, которое каждому состоянию х ₀ Є X в начальный момент времени t ₀ Є Θ однозначно ставит в соответствие некоторое состояние х _t Є X в любой другой момент времени t = t0 + t Є Θ. Таким образом, можно записать:

(1.7)

Оператор эволюции является непрерывным в X и обладает следующими свойствами:

		(1.8)
		(1.9)

где о означает суперпозицию операторов.

Исходя из характера множеств Χ, Θ и свойств оператора эволюции можно дать наиболее общую классификацию динамических систем. Если Θ = R ¹, то есть время принимает непрерывное множество значений, то оператор эволюции непрерывен по t и соответствующую динамическую систему называют системой с непрерывным временем или потоком, по аналогии с течением жидкости. Если множество Θ является счетным, то динамическую систему называют системой с дискретным временем или каскадом.

Множество состояний X, так же как и множество моментов времени, может быть различно. Это может быть конечное или счетное множество, что характерно для класса ДС, называемых клеточными автоматами. Множество X может представлять собой арифметическое пространство с конечной размерностью N (вещественное R^N или комплексное Z^N). Таким является фазовое пространство ДС, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Наконец, X может быть функциональным пространством. В этом случае ДС задается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями или обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими задержку во времени. В дальнейшем мы в основном сосредоточимся на потоковых системах с пространством состояний X = R^N.

Оператор эволюции может обладать теми или иными характерными свойствами, позволяющими выделить особые классы динамических систем. Например, можно выделить класс линейных ДС, для которых оператор эволюции является линейным, то есть удовлетворяет правилу суперпозиции:

(1.10)

Если оператор нелинейный (не удовлетворяет правилу (1.10)), то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.

Если оператор эволюции Т ₀^t определен для всех значений сдвига во времени t, как для τ > 0, так и для τ < 0, то он является обратимым, т. е. существует обратный к нему оператор позволяющий, зная состояние системы в момент t = t ₀ + τ, найти состояние системы в предшествующий момент t ₀. ДС также называется обратимой во времени. Если оператор эволюции определен только для t > 0, то он необратим и предшествующее состояние системы однозначно определить нельзя. Система в этом случае называется необратимой во времени.

Если оператор эволюции Тt ₀^t не зависит от момента времени t ₀, а определяется только начальным состояниям и интервалом t, то соответствующая динамическая система называется автономной, в противном случае система называется неавтономной. В обозначении оператора эволюции автономной системы не нужно указывать начальный момент времени, то есть Тt ₀^t = Т ^t, а свойство (1.9) принимает вид

С физической точки зрения автономность системы означает, что на систему не действуют никакие внешние силы и параметры системы постоянны во времени. В дальнейшем мы будем рассматривать автономные системы или системы, которые можно свести к автономным, добавив некоторые дополнительные переменные состояния. Важно при этом, чтобы характерные траектории ДС оставались ограниченными. Например, к автономному виду легко сводятся системы с гармоническим внешним воздействием. Роль дополнительной переменной играет фаза внешнего воздействия, задаваемая в ограниченном интервале (например, в интервале [π; + π]).

Если оператор эволюции сохраняет фазовый объем, то динамическая система называется консервативной. Полная энергия консервативной системы остается постоянной. Если оператор эволюции сжимает фазовый объем, то система называется диссипативной. В такой системе происходит рассеяние (диссипация) энергии.

Способы задания оператора эволюции могут быть различными. Как уже отмечалось, оператор Тt ₀^t часто задается в неявной форме в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Возможно представление оператора эволюции в виде интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т. д.

2.2. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (ФП) в теории ДС, многомерное пространство, осями которого служат все обобщённые координаты q_i и скорости v_i (i = 1, 2,..., N) ДС с N степенями свободы. Таким образом, ФП имеет размерность 2 N. Состояние системы изображается в ФП точкой с координатами q ₁, v ₁..., q_N, v_N, а изменение состояния системы во времени движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определенному значению энергии Е системы, образуют в ФП (2 N- 1) - мерную поверхность, делящую пространство на две части более высоких и более низких значений энергии. Поверхности различных значений энергии не пересекаются. Траектории замкнутой системы (с постоянным значением Е) лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистического описания состояния системы из многих частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма ФП) и функции распределения системы вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма.