 |
Исследование на неподвижные точки
|
|
|
|
1. X = Y = Z = 0 – точка О = (0,0,0) всегда является неподвижной.
2. условие стационарности:
ещё две неподвижные точки О1,2 (но не всегда устойчивые):
Zст = ρ – 1, Xст = Yст = ± Ö(βZст) = Ö(β(ρ −1)).
Анализ устойчивости неподвижных точек:
• при ρ < 1 т. О – устойчивый узел, других устойчивых точек нет. Это означает отсутствие конвекции,
• при 1 < ρ < ρ* = σ(σ + β + 3)/(σ – β – 1).
Появляются две новые устойчивые точки О1,2, если σ > β – 1. Точка при этом О - становится неустойчивой. Два возможных направления вращения в конвективной ячейке, т.е. два устойчивых динамических режима.
• при ρ > ρ* точки О, О1,2 становятся неустойчивыми. Это означает отсутствие регулярных устойчивых режимов в системе и переход к хаотической конвекции.
Результаты численного исследования динамики системы Лоренца
При σ = 10, β = 8/3. (ρ* ≈ 24.74) ДС Лоренца имеет следующую зависимость координат от времени (рис. 1) и следующий фазовый портрет (рис. 2)
Рис. 1.
Рис. 2.
1) 1 ≤ ρ < ρ1 ≈ 13.926..
• т. О – неустойчивая,
• точки О1,2 – устойчивые (бистабильность). Зависимость от начальных условий. Две ветви сепаратрисы - Г1 и Г2
При ρ = 13.926..ДС Лоренца имеет следующую зависимость координат от времени (рис. 3) и следующий фазовый портрет (рис. 4)
function lor_2
% Задание вектора начальных условий
Y0 = [10;20;10];
% Вызов решателя ODE
[T, Y] = ode45(@oscil, [0 50], Y0);
% Вывод графика решения
subplot(2,2,1); plot(T, Y(:,1));title('y1(t)')
subplot(2,2,2); plot(T, Y(:,2));title('y2(t)')
subplot(2,2,3); plot(T, Y(:,3));title('y3(t)')
subplot(2,2,4); plot(Y(:,1),Y(:,2));title('y1(t),y2(t)')
% Вывод графика производной от решения(маркеры – точки, линия –
%пунктир)
figure
plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))
axis square
xlabel('X'), ylabel('Y'),zlabel('Z')
|
|
|
grid on
% hold on; plot(T, Y(:,2), 'k.:')
% Задание правых частей системы ODE
function F = oscil(t, y)
F = [-9*y(1)+9*y(2); 36*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);y(1)*y(2)-(13/7)*y(3)];
%
%figure
Рис. 3.
Рис. 4.
При ρ > ρ3 ≈ 148.4
Одно притягивающее множество - предельный цикл (автоколебания).
При уменьшении параметра ρ от ρ3 к ρ* переход к хаосу:
- через каскад бифуркаций удвоения периода.
- через перемежаемость
ДС Лоренца имеет следующую зависимость координат от времени (рис. 5) и следующий фазовый портрет (рис. 6)
Рис. 5.
Рис. 6.
function lor
% Задание вектора начальных условий
Y0 = [10;20;10];
% Вызов решателя ODE
[T, Y] = ode45(@oscil, [0 50], Y0);
% Вывод графика решения
subplot(1,3,1); plot(T, Y(:,1));title('y1(t)')
subplot(1,3,2); plot(T, Y(:,2));title('y2(t)')
subplot(1,3,3); plot(T, Y(:,3));title('y3(t)')
%subplot(2,2,4); plot(Y(:,1),Y(:,2));title('y1(t),y2(t)')
% Вывод графика производной от решения(маркеры – точки, линия –
%пунктир)
figure
plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))
axis square
xlabel('X'), ylabel('Y'),zlabel('Z')
grid on
% hold on; plot(T, Y(:,2), 'k.:')
% Задание правых частей системы ODE
function F = oscil(t, y)
F = [10*(y(2)-y(1)); y(1)*(150-y(3))-y(2);y(1)*y(2)-(8/3)*y(3)];
%
%F = [9*(y(2)-y(1)); y(1)*(36-y(3))-y(2);y(1)*y(2)-(13/7)*y(3)];
%
Литература и электронные ресурсы
Андреев В.В. MATLAB в научных и экономических расчётах. Казань, КГЭУ. – 2013, 148 с.
Анищенко В.С, Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. 516 с.
Ануфриев. И. MATLAB 5.3/6.x: Самоучитель. СПб.: БХВ Петербург, 2002.
Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ Петербург, 2005.
Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Часть 1., М.: Мир, 1990, 350 с.
Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. М.: ДМК Пресс, 2008. 768 с.
Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752 с
Кузнецов А.П., Савин А.В., Тюрюкина Л.В. Введение в физику нелинейных отображений Саратов: изд-во «Научная книга», 2010, 134 с.
Максимова А.П., Малова Н.А. Лабораторный практикум по вычислительной математике. Методические указания по выполнению лабораторных работ. Чебоксары: Волжский филиал МАДИ (ГТУ), 2008. 91 с.
|
|
|
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с. (с. 348-353)
Hunt, Brian R. Matlab R2007 с нуля®! Книга + Видеокурс.: [пер. с англ.] / Brian R. Hunt [и др.]. – М.: Лучшие книги, 2008. – 352 с.: ил. + CD-ROM. – (Серия «Книга + Видеокурс»). Numerical Computing with MATLAB (text book) The Math Works, Inc. (www.mathworks.com/moler)
Numerical Computing with MATLAB (text book) The Math Works, Inc. (www.mathworks.com/moler)
Higham D.J., Higham N.J. MATLAB Guide. 2nd ed. SIAM, 2005. – 382 p. (177-179)
www.femto.com.ua
СОДЕРЖАНИЕ
1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
1.1. Решатели (solver) ОДУ в MATLAB
1.2. Решение ОДУ первого порядка (ЛР № 1)
1.3. Решение систем ОДУ(ЛР № 2)
1.4. Решение ОДУ n -го порядка(ЛР № 3)
2. Динамические системы (ДС)
2.1. Виды ДС
2.2. Фазовое пространство ДС
2.3. Кинематическая интерпретация системы ДУ
2.4. Эволюция ДС
2.5. Уравнения маятника
2.6. Динамика осциллятора Ван-дер-Поля (ЛР № 4-5)
3. Качественный анализ линейных ДС
3.1. Особые точки линейных ДС
3.2. Фазовые траектории (ФТ) линейных ДС
3.3. Устойчивость ФТ
3.4. Примеры качественного анализа линейных ДС (ЛР № 6-7)
4. Качественный анализ нелинейных ДС
4.1. Логистическое отображение(ЛР № 8-9)
4.2. Особые точки нелинейных ДУ, бифуркация
4.3. Фазовый портрет нелинейных ДС
5. Аттрактор Лоренца
6. Отображение Енона
|
|
|
