Алгебраические критерии устойчивости(Рауса, Гурвица и т.д)

Def: К.У. – называются признаки по которым можно судить об устойчивости САУ без решения диф. ур-ий динамики системы и без нахождения корней. Все критерии делятся на 2 группы: а) Алгебраические, которые основаны на анализе коэф. харак-го ур-я.; б) частотная, которая основана на анализе частот. характ-к системы. Простейший алгебраический критерии Стодолы. Простейшим необходимым, но недостаточным крит. уст. яв-ся требование, чтобы все коэфф. характ-го ур-я имели одинаковый знак. Док-во: Пусть мы имеем устойчивую систему с хар. ур-ем a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀=0 (1), для устойчивости системы все корни имеют отриц. Вещественную часть. p₁=-α₁, p₁=-α₂, p_3,4=α₃±jβ₃,…, p_n=-α_n, где α и β – неотр. числа, тогда ур-е (1) можно записать a_n(p-p₁)*(p-p₂)*(p-p₃)…(p-p_n)=0, подставив значение корней a_n(p+α₁)*(p+α₂)*(p+α₃-jβ₃) * (p+α₃+jβ₃)…(p+α_n)=0. a_n(p+α₁)*(p+α₂)*[(p+α₃)²jβ₃²] …(p+α_n)=0. Раскроем скобки и приведем к исходному виду(1). Перемножая и складывая положит. числа нельзя получить отрицательные т.е все коэфф. будут положительными ур-я (1) или отрицат. в зависимости от знака а_n. Для систем I и II порядков этот критерий явл-я необходимым и достаточным. Для систем более высоких порядков(III и выше) этот критерий яв-ся необходимым т.е если хотя бы один коэф. характ-го ур-я имеет знак отличный от знака других коэф-ов, то можно сразу сказать что система не устойчива и никаких других исследов. проводить не нужно. Недостаточность критерия состоит в том что для некоторых неустойчивых систем мы можем получить все коэфф. одного знака и требуется дополнит. исследования. Были разработаны другие алгеб. критерии устойчивости которые яв-ся как необходимыми так и достаточными. Наиб. распростран. получили критерий Рауса и критерий Гурвица. Оба эти критерия в конце концов приводят к одной и той же системе неравенств. Критерий Рауса: правило постр. определителя Рауса a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n-1p+ a_n=0. 1-я строка: заполняется коэфф. с четными индексами, 2-я строка: заполняется коэфф. с нечетными индексами,

3-я строка и последующая получ. вычислением из предыдущих двух строк. Каждый элемент получ. перекрестным умножением элементов двух предыдущих строк

и делением элемента предыдущей строки: c_i,k=(c_i-2,k+1*c_i-1,1- c_i-2,1*c_i-1,k+1)/ c_i-1,1. Всего строк в таблице будет n+1. Постепенно справа появ-я нули и число значущих элементов умножается. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы коэфф. 1-ого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и положительны (c_i,1≠0; c_i,1>0). Если хотя бы появ-ся 0 то система находится на границе устойчивости, если отриц. число то система неустойчива. Критерий Гурвица: Правило состав. опред. Гурвица. Главная диагональ определ. послед. заполняется коэфф. харак. ур-я начиная с коэфф. при (n-1) производной т.е p^n-1 и до свободного члена. Столбцы вверх от диагонали заполняют последоват. коэфф. по убыв. степ; вниз по возраст. степеням “p”. На месте коэфф. индексы котор. (>n и <0) ставят 0. a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n-1p+ a_n=0.

Def: Для того чтобы хар-ое ур-е системы имело все корни с отриц. веществ. частью необходимо и достаточно, чтобы главный определ. Гурвица (∆n) и все его

диагональные миноры (∆_n-1, ∆_n-2, ∆₁) имели один знак с коэфф. при старшей производной (а_n>0).

Пример: а) система I-порядка D(p)=a₁p+ a₀=0, ∆_n= |a₀|=a₀. {^a1>0_a0>0; б) система II-порядка D(p)= a₂p²+ a₁p+a₀ =0, ∆₂= |^{a1 0}_{a2 0} |, ∆₁=|a₁|=a₁; {^a2>0a1>0_a0>0; в) система III-порядка D(p)= a₃p³+a₂p²+ a₁p+a₀ =0, ∆₂= |^{a2 a0 0} a3 a1 0 _{0 a2 a0} |= a₀*∆₂=a₀* |^{a2 0}_{a3 a1} |, ∆₂=

|^{a2 0}_{a3 a1} |=a₂ *a₁ – a₀ *a₃. ∆₁=|a₂|=a₂.

W_зу(р)=((К_nK₀)/p(T₀₂²p²+T₀₁p+1))/(1+((К_nK₀)/p (T₀₂²p²+T₀₁p+1)))= (К_nK₀)/(T₀₂²p³+T₀₁p²+p+ К_nK₀ + 1), где а₃=T₀₂²p³, а₂=T₀₁p³, а₁=p, а₀=К_nK₀.

а₁а₂>а₃а₀, T₀₁>T₀₂²*К_nK₀,

К_n ≤ T₀₁/ T₀₂²*К_nK₀. При равенстве система будет находиться на границе устойчивости. Значение варьированного параметра при которой

система наход. на границе устойчивости назыв. критическими. Недостаток алгебр. критерия: они дают ответ устойчива система или нет и ничто не говорят что надо сделать чтобы система стала устойчивой. С инженерной точки зрения более удобным оказываются частотные критерии.