Несколько параметров порядка

Если имеются несколько параметров порядка, в ряде случаев, их поведение может описываться так же, как поведение шарика на рельефе. Например, если имеется один параметр порядка, рельеф может напоминать поле для гольфа с отдельными отверстиями. Однако в случае двух параметров порядка могут происходить колебания.

Наконец, в случае трех или большого числа параметров порядка, в дополнение к устойчивому состоянию и его колебаниям, может наблюдаться также детерминированный хаос. В фундаментальной работе Агнес Баблоянц [12] показано, что на некоторых стадиях сна, могут быть определены хаотические состояния ЕЕG низкой размерности, приблизительно размерности пять или шесть. Эти результаты во многом поддерживают идею о том, что понятие параметра порядка может быть применимо к ряду функций мозга.

Ниже я хочу описать немного более детально модели функций мозга в терминах синергетики. Модели касаются распознавания образа, распознавания двойственных образов и ЕЕG‑ и МЕG‑анализа.

Распознавание образов

Пока мы давали качественное описание синергетики. Чтобы показать, как эти понятия могут быть использованы операционально, рассмотрим проблему распознавания образа [13] людьми и машинами. Наш подход к распознаванию образов основан на трех компонентах: сначала и в соответствии с общепринятым убеждением мы идентифицируем распознавание образа с действием ассоциативной памяти [14]; пример ассоциативной памяти дает телефонная книга. Например, когда мы смотрим имя Аdam Miller, телефонная книга сообщает нам, в дополнение к имени, его номер телефона. Таким образом, ассоциативная память обеспечивает сбор данных. Второй компонент нашего подхода – это предположение, что ассоциативная память реализуется посредством динамики параметров порядка внутри потенциального рельефа по аналогии с рельефом, однако, мы должны теперь иметь дело с мультиустойчивым рельефом. Третий и наиболее существенный компонент нашего подхода – идея о том, что образ не распознается, а скорее формируется. По этому поводу рассмотрим простой пример. На этот раз мы моделируем поведение жидкости, нагреваемой снизу так, что может формироваться круговая циркуляция жидкости. Сначала описывается начальное состояние в форме одиночных закруток. Затем, согласно компьютерному вычислению, специфический полный паттерн круговой циркуляции. Если мы укажем разные одиночные начальные повороты в циркуляции, появляются соответственно разные паттерны циркуляции на развитой стадии. Наконец, когда мы описываем две закрутки в циркуляции жидкости, один из которых немного сильнее другого, существует соревнование между этими двумя паттернами циркуляции, и изначально более сильный паттерн выигрывает соревнование. В терминах синергетики происходит следующее: первоначально частично упорядоченное состояние жидкости задает набор параметров порядка. Эти параметры порядка конкурируют, посредством чего побеждают изначально более сильные. Они действуют на систему через принцип подчинения и таким образом, в конечном счете, вынуждают целую систему войти в соответствующее упорядоченное состояние. В более абстрактных терминах мы можем сказать, что частично упорядоченная система генерирует соответствующие параметры порядка, которые воздействуют на систему и вынуждают систему принять полностью упорядоченное состояние. Совершенно то же самое появляется при распознавании образа. Если заданы некоторые особенности, они генерируют параметры порядка, который вынуждает общую систему дорисовать все недостающие детали так, чтобы был восстановлен полный образ. Например, когда нам представлены, скажем, глаза и нос человека, в соответствии с этими процессами будет восстановлено целое человеческое лицо.

Чтобы яснее описать нашу процедуру, рассмотрим набор лиц на фотографиях. Чтобы обработать эти образы на компьютере, мы помещаем сетку поверх отдельных фотографий и регистрируем значение серого цвета в каждой точке. Набор всех серых значений полученных образцов представляет прототип вектора v. Поскольку хранятся несколько векторов прототипа, мы различаем их по индексу и. Раз имеется вектор g тестового паттерна, например глаза и нос, мы должны решить, к какому из запомненных лиц этот вектор тестового паттерна принадлежит. Для этого мы воссоздаем динамику, которая описывается следующим дифференциальным уравнением для временного развития вектора тестового образа.

Согласно этому уравнению, временное изменение вектора тестового образа описывается так называемыми параметрами λ внимания и обучающейся матрицей. Второй член уравнения (1) с правой стороны обозначает различия в разрешении и насыщенности между образами, значения вектора тестового паттерна не превышают некоторое значение. Как оказалось, эволюция g со временем может быть опять‑таки описана через аналогию с шариком, катающимся на потенциальном рельефе. Как следствие этой динамики, со временем первоначально данный вектор тестового образа перемещается в один из образов прототипа, которые представляются как минимумы потенциального рельефа. Как оказалось, наша процедура очень чувствительна и позволяет компьютеру различать выражение лица, как в представленных примерах. Абстрактный алгоритм, описанный уравнениями, может быть реализован, в частности, на параллельном компьютере, где каждая частичка образа ј соединена с нейроном с активностьюg. Уравнения могут затем интерпретиро следующим способом: нейрон с индексом ј получает вводы от другого нейрона g или от трех других нейронов с активностью.

Роль внимания. Распознавание двойственных образов

Не трудно разработать предварительную настройку компьютера так, чтобы он распознал лица, чьи позиции перемещены в пространстве. Когда мы показываем компьютеру рисунок, сначала он распознает леди в активном режиме. Затем параметр внимания к леди сводится по внешнему воздействию либо самим компьютером. Затем, когда изображение показывается снова компьютеру, он распознает человека на заднем плане. Аналогично устанавливая соответствующие параметры внимания равным нулю, как только отдельное лицо было распознано, компьютер способен распознать сцену.

Эти результаты приводят к идее, что так же, как в нашем человеческом восприятии, здесь сильное влияние оказывают параметры внимания. Эта идея подкрепляется моделями, разработанными Дитзингером и автором [15], в которую была включена насыщенность параметров внимания. Если принять это во внимание, можно легко объяснять имеющиеся колебания в восприятии неоднозначных рисунков. Классический пример неоднозначного рисунка с вазой и двойным профилем известен каждому психологу: если средняя часть воспринимаетсякак активная область, можно заметить вазу, в другом случае – два лица. Время, в течение котрого воспринимается одна из интерпретаций неоднозначного рисунка, называется временем переверсии. Поскольку в нашем подходе оно связано с параметрами внимания, можно попытаться повлиять на время переверсии через параметры внимания. Одна из таких возможностей, которую я предложил пару лет назад, – это повлиять на параметры внимания с помощью наркотиков. Кроме того, можно пробовать использовать эмоциональное состояние тестируемого человека для того, чтобы исследовать переверсию восприятия.

BEG и MEG‑анализ

Как электрические, так и магнитные поля в мозгу создаются в результате взаимодействия многих нейронов. Эти поля могут измеряться с помощью электроэнцефалограмм или магнитоэнцифалограмм. Недавно стало возможным анализировать результаты некоторых из этих измерений в терминах синергетики. Здесь мы бы хотели привести два недавних примера. Используя методы хаоса, Агнес Баблоянц (12) показала несколько лет назад, что EEG в случае электрических ударов показывает хаос довольно низкой фрактальной размерности, где использовалось электрическое отведение от одного электрода. Здесь я кратко набросаю наш анализ EEG с использованием многих электродов, показывая временной ряд, соответствующий потенциалам, идущим с разных позиций электродов. Из этого временного ряда может быть восстановлен паттерн пространственно‑временного изменения электрической активности мозга. Каждая точка времени соответствует заполнению фигуры и ее окружения. Если мозг близок к точке неустойчивости, то, согласно синергетике, мы ожидаем, что паттерны пространственно‑вре­менного искажения могут представляться суперпозицией нескольких базовых паттернов.

Амплитуды являются здесь параметрами порядка. Поскольку имеются только три параметра порядка, их траектория может быть изображена в трехмерном пространстве, так. Детальный анализ, проведенный Фрейдриха и Ухл [16], показал, что в случае особой эпилепсии траектория представляет собой так называемый Шильниковский хаос. В этом специфическом случае стало возможно получить полную динамическую модель этого вида эпилепсии. До этого мы изучали альфа‑волны, которые регистрируются у людей в состоянии покоя [17]. В этом случае мы могли бы показать, что альфа‑волны можно представить суперпозицией только пяти базисных режимов, что в значительной степени соответствуют Бессельским функциям.

Эти результаты показывают, что интересующая нас активность мозга может быть представлена немногими параметрами порядка, или, другими словами, в низко‑размерном пространстве. Это поддерживает нашу идею о том, что понятие параметров порядка и низкой размерности играет важную роль при моделировании мозга. В то время как альфа‑волны и petit mal эпилепсия – это, так сказать, свободно текущие явления, необходимо более точное понимание функций мозга; Келсо с сотрудниками выполнили МЕG‑ана­лиз [18] для решения даной проблемы. Типичная задача была следующей: тестируемому человеку давался периодический звуковой сигнал на который он реагировал движением пальца, где палец должен был двигаться только в середине между звуковыми импульсами. Когда степень звуковых сигналов стала увеличиваться, внезапно стало наблюдаться изменение поведения, а именно переход от синкопирования (реагирования по середине между стимулами) к синхронизации. Опять можно было определить несколько основных режимов и изучить поведение амплитуд [19]. Как оказалось, процесс может быть смоделирован парой нелинейных дифференциальных уравнений для параметров 20‑го порядка. Эти уравнения представляют фазовый переход, включающий в деталях критические флуктуации.